Работа ученика VI класса Пермской гимназии Николая Голощапова, исполненная под наблюдением преподавателя К. Торопова.
С удовольствием помещаю в циркулярах по округу труд ученика VI класса Пермской гимназии Николая Голощапова „О неопределенном уравнении х²-у² = с,“ исполненный под наблюдением преподавателя Торопова, которому объявляю благодарность за возбуждение в учениках любви к самостоятельным занятиям по преподаваемому им предмету, и прошу других преподавателей следовать примеру г. Торопова.
Попечитель Д. Михайлов.
Всякое неопределенное уравнение имеет безчисленное множество корней; но из них обыкновенно выбирают только целые и положительные.
Разсмотрим неопределенное уравнение второй степени: х²-у² = с,
При чем для х и у будем искать только значения, выраженныя целыми числами.
Вообще для решения неопределенных уравнений второй
2
степени не существует общаго приема, но возможно решение их только в частных случаях. Так уравнение:
х²-у² = с
отличается тем свойством, что левую часть его можно разложить на два целых множителя; следовательно, и правая часть его должна разлагаться на множители, соответственно равные выражениям
х+у и х-у.
Таким образом решение неопределеннаго уравнения второй степени
х²-у² = с
приводится к решению двух совместных уравнений с двумя неизвестными.
Определим теперь условия, при которых получаются целыя числа для х и у.
Как уже сказано, для решения уравнения
х²-у² = с
левую часть его представляют в виде произведения двух множителей:
(х+у)(х-у).
Положим, известный член разлагается на множители: q.p ; тогда, предполагая, что q>p , находим, что х+у=q, х-у=p.
Решая эти уравнения, для х получим
(q+р)/2
и для у
(q-p)/2
очевидно выражения: (q+р)/2 и (q-p)/2 тогда только целыя числа,
когда q и p или оба четныя или нечетныя числа.
3
Отсюда следует, что при решении уравнения
x2-у2 = с выражения
х+у и х-у нужно приравнивать или числам четным, или нечетным одновременно. Если с=ц. ц , то нельзя предположить, что х+у = ц, х—у = ц,
так как вследствие этих равенств имеем, что х+у=х-у ,
чего быть не может, если преполагать, что у>о.
Следовательно выражения
х+у и х-у
нельзя приравнивать одной и той же величине.
Так как для х и у мы ищем целыя числа, то очевидно, с не может быть дробью. Кроме того, с всегда можно принять за количество положительное: если бы с было количество отричательное, то, умножив все уравнение
х²-у² = с
на -1, получим уравнение того же вида, известный член котораго будет количеством положительным.
Итак, с принимаем за некоторое целое положительное количество. При этом могут быть два случая:
I) с представляет точный квадрат и
II) Ѵс есть иррациональное выражение.
I. При решении неопределеннаго уравнения
х2—у2 = а2
может случиться, что
1) а число первоначальное, или
2) а число составное.
Разберем прежде тот случай, когда а число первоначальное. Из первоначальных чисел а не может равняться ни 1, ни 2. В самом деле, если бы а=1, то мы имели бы невозможныя равенства
4
х+у = 1, х-у = 1, если у>о.
Положив а = 2, найдем, что
а² = 2.2, а² = 4.1.
Ни первое, ни второе предположение невозможно, на основании выше сказаннаго.
Положим теперь, что а есть какое либо первоначальное число, за исключением 1 и 2. Тогда уравнение имеет только одно решение, выраженное целыми числами; в самом деле, правая часть уравнения в этом случае может быть разложена только на два целых множителя: а²
и 1 и потому
х+у = а², х-у = 1,
откуда
х =(а²+1)/2 , у=(а²-1)/2
Здесь а² число нечетное, так как а — число первоначальное и больше 2.
2) а — число составное.
В этом случае а может быть или четным, или нечетным числом. Найдем число решений уравнения х²-у² = а²,
выраженных целыми числами, когда а число составное нечетное.
Положим, что
а=b^n.с^l.d^m...k^r, где b, c, d,... k
первоначальные делители числа а, большие 2; тогда а²=b^(2n).c^(2l)...k^(2r).
Найдем всех делителей числа а²; для этого нужно составить всевозможныя произведения из первоначальных производителей числа а². Выписываем сначала следующих делителей а²:
1, b, b²...b^(2n):
5
1, c, c²....,c^(2l);
1, d, d²...d^(2m);
1, k, k²....k^(2r).
Каждаго из 2n+1 делителей перваго ряда умножаем на каждаго из 2l+1 делителей следующаго ряда; получаем
(2n+1)(2l+1)
различных делителей числа а²; далее, каждаго из полученных
(2n+1)(2l+1)
делителей умножаем на каждаго из 2m+1 делителей третьяго ряда; будем иметь
(2n+1)(2l+1)(2m+1)
различных делителей числа а²; поступая по предъидущему, найдем, что а² имеет
(2n+1)(2l+1)(2m+1)......(2r+1)
различных делителей, считая в том числе 1 и а².
Определим теперь, каким из найденных делителей можно приравнивать выражения:
х+у и x-у.
Сделав преобразование в уравнении х²-у²=а², находим, что
х+у=a²/(х-у),
из этого равенства следует, что
х-у<а,
потому что в противном случае было бы невозможное неравенство
х+у<х-у, если у>0.
Кроме того, из того же равенства следует, что х-у не
6
может равняться а, так как в этом случае х+у также равнялось бы а.
Поэтому, из числа делителей числа а² нужно отнять одного, останется (2n+1) (2l+1) (2m+1)... (2r+1) — 1 различных делителей числа а², исключая а.
Мы нашли, что х-у<а; но между делителями числа а² чисел, меньших а, существует
((n+1)(2l+1)(2m+1).....................(2r+1)-1)/2 ,
так как каждому делителю а², меньшему а, соответствует другой, больший а, произведение котораго на первый равно а². Следовательно, выражение х-у приравнивается ((2n+1)(2l+1)(2m+1)....(2r+1)-1)/2 различным нечетным числам, и стольким же нечетным числам приравнивается соответственно выражение х+у.
Таким образом, для х и у будем иметь по ((2n+1)(2l+1)(2m+1)........................................(2m+1)-1)/2
значений, выраженных целыми числами.
Итак для нахождения числа целых решений уравнения х²-у²=а².
когда а составное нечетное число, нужно а разложить на первоначальные множители; удвоить числа, показывающия, сколько раз входит в это разложение каждый из множителей, каждое из этих удвоенных чисел увеличить на 1 и результаты перемножить; полученное произведение, уменьшенное единицею и разделенное на 2, покажет число целых решений уравнения
х²-у² = а².
Решим для примера такую задачу:
7
«Определить в целых числах гипотенузу и катет прямоугольнаго треугольника, если другой катет равен 45».
Решение. Положим, что гипотенуза равна х, искомый катет равен у. Составляем уравнение:
х²-у²=2025.
Не решая этого уравнения, можно сказать на основании предъидущаго, сколько оно имеет решений, выраженных целыми числами. Так 45 = 3.3.5, то число решений равно (5.3-1)/2 = 7.
В самом деле, 2025 можно разложить на множители следующими способами:
2025 = 3.675,
« = 9.225,
« = 27.75,
« = 81.25,
« = 15.135,
« = 45.45,
« = 1.2025,
2025 = 5.405.
Так как нельзя предположить, что
х+у=45, х-у =45,
то остается сделать 7 предположений.
Первое из этих предположений дает
x=339, у=331;
второе:
x=117, у=108;
третье:
х=51, у=24;
четвертое:
х=53, у=28;
8
пятое:
х=75, у=60;
шестое
х=1013, у=1012 и
наконец седьмое:
х=205, у=200.
Найдем теперь число решений в целых числах уравнения
х²-у²=а²,
где а составное четное число.
Положим, а=2^g.v и v=b^m.c^n.d^l...k^r, где b, c, d,... k первоначальные делители а, большие 2. Следовательно, а²=2^(2g).b^(2m).c^(2n).d^(2l)...k^(2r).
Заметим, что в этом случае выражениям
х+у и х-у
можно давать только значения, выраженныя четными числами, так как, если положить х-у равным какому-либо нечетному числу, то выражение х+у было бы числом четным, в чем нетрудно убедиться из равенства
х+у=a²/(x-y),
где а² число четное.
Поэтому будем искать только тех делителей числа а², которые делятся нацело на 2.
Прежде найдем всех делителей, в состав которых не входит производитель 2; по предъидущему, их будет (2m+1)(2n+1)(2l+1)....(2r+1).
Так как а²=2^(2g).v², то а² имеет уже 2g четных делителей, именно 2,2²,2^3,... 2^(2g): чтобы определить, сколько всего четных делителей имеет а², каждаго из (2m+1)(2n+1)(2l+1)....(2r+1)
9
нечетных делителей умножаем на каждаго из делителей: 2, 2², 2^3,...., 2^(2g), так что получим
(2m+1)(2n+1)(2l+1)....(2r+1)2g четных делителей; но между ними есть (2m+1)(2n+1)(2l+1)...(2r+1) , делителей, кратных 2^(2g); если же х+у равно какому-либо числу 2^(2g)z, то х-у должно равняться какому-нибудь нечетному числу.
Кроме того, между найденными делителями есть а, который тоже не имеет места при решении уравнения х²-у²=а²;
следовательно, остается (2m+1)(2n+1)(2l+1)....(2r+1)(2g-1)-1 четных делителей, которым можно приравнивать выражения: х+у и х-у.
Если из числа найденных делителей выберем один, меньший а, то между остальными найдется другой, больший а, произведение котораго на первый равно а², но (2m+1)(2n+1)(2l+1)....(2r+1)(2g-1)-1 число четное; следовательно, различными способами можно составить
((2m+1)(2n+1)(2l+1)....(2r+1)(2g-1)-1)/2
произведений, равных каждое а²; отсюда заключаем, что для х и у существует по
((2m+1)(2n+1)(2l+1)....(2r+1)(2g-1)-1)/2
значений, выраженных целыми числами.
Итак, чтобы определить число решений неопределеннаго уравнения
х²-у²=а²,
выраженных целыми числами, когда а составное четное число, нужно а разложить на первоначальные множители;
10
удвоить числа, показывающия, сколько раз входит в это разложение каждый из множителей, каждое из этих удвоенных чисел увеличить на единицу (за исключением числа, соответствующаго множителю 2, которое нужно уменьшить на единицу) и результаты перемножить; полученное произведение, уменьшенное единицею и разделенное на 2, покажет число целых решений уравнения х²-у²=а².
Проверим выведенное правило на примере:
«Купец имеет два куска материи; аршин перваго куска стоит столько рублей, сколько аршин в куске, аршин втораго куска также стоит столько, сколько аршин в куске. Продав оба куска, купец нашел, что за первый кусок он получил на 144 рубля более, чем за второй. Сколько аршин сукна было в том и другом куске?»
Решение. Положим, в первом куске было х аршин; во втором у. Составляем уравнение:
х²-у²=144.
Не решая этого уравнения, можно сказать, сколько оно имеет целых решений.
В данном случае, а=12; а так как 12=2.2.3, то число решений в целых числах равно
(3.3-1)/2 = 4
В самом деле, 144 можно разложить на множители следующими способами:
144 =1.144,
« = 2.72,
« = 4.36,
« = 6.24,
« = 8.18,
« = 3.48,
« = 9.16,
11
« = 12.12.
Нельзя предположить, что х+у=144, х-у=1; х+у=48, х-у=3, х+у=16, х-у=9; х+у=12, х-у=12;
остается сделать 4 предположения. Одно из этих предположений дает
х=37, у=35;
другое:
х=20, у=16;
третье:
х=45, у=9
и четвертое:
х=13, у=5.
II. Разберем теперь тот случай, когда в уравнении х²-у²=с
√с есть иррациональное выражение. При этом может быть, что
1) с число первоначальное,
2) с число составное.
1) с — число первоначальное.
Когда с равно 1 или 2, то для уравнения
x²-у²=с нет ни одного решения, выраженнаго целым числом, так как 1=1.4 и 2=1.2; но мы уже знаем, что выражения
х+у и х-у нельзя приравнивать одному и тому же числу; точно также нельзя полагать одно из этих выражений равным четному, а другое — нечетному числу.
Если же с есть какое-либо первоначальное число, за исключением 1 и 2, то для х и у существует только по
12
одному целому значению, в чем можно убедиться из равенств:
ч=(с+1)/2, y=(с-1)/2
которыя получаются при решении уравнений х+у=с, x-у=1.
2) с — число составное.
Между производителями числа с может быть производитель 2; но также может случиться, что производитель 2 совсем не входит в число с, или же с=2^(2n-1).
Положим, с число составное нечетное, так что
с=а^n.b^m...d^r,
где a, b,..., d первоначальные делители с, большие 2.
Очевидно, необходимо, чтобы хотя один из производителей числа с входил в него нечетное число раз; в противном случае с было бы полным квадратом. По предъидущему находим, что с имеет
(n+1)(m+1)....(r+1)
точных делителей, считая в их числе 1 и с. Так как хотя одно из выражений
(n+1), (m+1),.... и (r+1)
есть число четное, то с имеет четное число различных делителей.
Очевидно, х-у<√с (иначе было бы х+у<√с); но между делителями числа с чисел, меньших √с, существует
((n+1)(m+1)....(r+1))/2,
так как каждому делителю с, меньшему √с, соответствует другой, больший √с, произведение котораго на первый равно с. Следовательно, в этом случае, для уравнения
х²-у²=с
13
существует
((n+1)(m+1).. ..(r+1))/2
решений, выраженных целыми числами (так как х+у и х-у одновременно приравниваются нечетным числам).
Итак, чтобы найти число решений уравнения
х²-у²=с,
выраженных целыми числами, когда с составное нечетное число, нужно с разложить на первоначальные множители; числа, показывающия, сколько раз в это разложение входит каждый множитель, увеличить каждое на единицу и результаты перемножить; половина полученнаго произведения покажет число целых решений уравнения
х²-у²=с.
Решим для примера такую задачу:
«Одно греческое слово состоит из четырех букв. Последняя буква этого слова занимает в греческом алфавите с начала 10-е место после первой буквы слова; третья буква этого слова на три буквы ближе к началу алфавита, чем последняя буква; если же вместо двух первых букв слова поставить в том же порядке цифры, показывающия, какое место с начала занимают эти буквы в греческом алфавите, то оказывается, что разность квадратов чисел перваго и втораго равна 39. Какое это слово?»
Решение. Положим, первая буква занимает с начала алфавита х-ое место, вторая буква слово у-е место. Составляем уравнение
х²-у²=39.
Не решая этого уравнения, можно сказать, сколько оно имеет решений, выраженных целыми числами. Так как
14
39=3.13, то для х и у существует по
2.2/2 = 2
значение, выраженных целыми числами.
В самом деле, так как
39=39.1 или 39 = 3.13, то можно сделать следующия предположения: х+у = 39, х-у=1; х+у=13, х-у = 3.
Первое предположение дает:
х=20, у=19;
второе:
х=8, у=5.
Если предположить, что первая буква слова занимает 20 место, то последняя должна занимать по условию 30; но в греческом алфавите только 24 буквы; следовательно, первая буква искомаго слова должна занимать 8-е место с начала алфавита, вторая — 5-е место, последняя — 18-е и третья должна стоять на 15-м месте. Так как в греческом алфавите 8-е место занимает ϑ, 5-е — ε, 15-е — ο, 18-е место — ς, то искомое слово есть θεός.
Положим теперь, с четное составное число.
Если производитель 2 входит в число с один раз, то уравнение
х²-у²=с
не имеет целых решений, так как с разлагается на два множителя, из которых один — число четное, а другой — нечетное.
Положим, с=2^n.a^m.b^l....k^r.
В этом случае хотя одно из чисел
n, m, l,.... r
должно быть нечетным, иначе с было бы точный квадрат. Очевидно, выражения
15
х+у, х-у должно приравнивать только четным делителям числа с. Найдем, поэтому, всех четных делителей числа с; по предъидущему, их будет
(m+1)(l+1)... (r+1)n.
Но между ними есть
(m+1)(l+1)...(r+1) делителей, кратных 2^n, которых, как уже было выше замечено, нельзя приравнивать выражения
х+у и х-у.
Таким образом, при решении уравнения х²-у²=с
берем только
(m+1)(l+1)....(r+1)(n-1)
различных четных делителей числа с. Так как хотя одно из чисел
(m+И),(l+1),...,(r+1),(n-1)
есть четное, то произведение
(m+1)(l+1)....)(r+1)(n-1) также четное число.
Таким образом, с может быть выражено чрез произведение двух множителей
((m+1)(l+1)....(r+1)(n-1))/2
различными способами, а потому для х и у существует по ((m+1)(l+1)....(r+1)(n-1))/2 значений, выраженных целыми числами.
Итак, чтобы определить число решений уравнения x²-у²=c, выраженных целыми числами, когда с составное четное число, имеющее производителя 2 более, чем в первой степени, нужно с разложить на первоначальные множители;
16
числа, показывающия, сколько раз в это разложение входит каждый множитель, увеличить каждое на единицу (кроме числа, соответствующаго множителю 2, которое нужно уменьшить на единицу) и результаты перемножить; половина полученнаго произведения покажет число целых решений уравнения
х²-у²=с.
[Приложение к № 4 «Циркуляра по Оренбургскому учебному округу» 1888 г.]
Подписаться на канал Математика и программирование
Подписаться на канал Новости из царской России
Оглавление статей канала "Новости из царской России"
YouTube "Новости из царской России"