Найдите наименьшее значение функции y = e²ⁿ - 5eⁿ - 2 на отрезке [-2; 1].
Решение:
В предыдущих задачах мы уже рассматривали алгоритм поиска точки минимума/максимума функции. Напомним его еще раз:
- Найти производную;
- Приравнять ее к нулю и решить уравнение;
- На числовой прямой расставить знаки производной с учетом ОДЗ;
- Расставить стрелки, характеризующие поведение функции;
- Точка максимума - переход с возрастания функции на убывание.
Точка минимума - переход с убывания функции на возрастание.
Наименьшее значение функции - это значение функции в точке минимума, принадлежащей заданному отрезку.
Итак, найдем производную:
Приравняем производную к нулю и решим уравнение:
Расставим на числовой прямой знаки производной:
Схематично изобразим поведение функции: если функция возрастает, производная положительна; если функция убывает, производная отрицательна.
Максимум - переход с возрастания на убывание. Минимум - переход с убывания на возрастание.
Убедимся в том, что точка минимума принадлежит отрезку, указанному в условии задачи:
Тогда наименьшее значение функции:
Ответ: -8,25