Доброго времени суток всем.
Сегодня разберём задание три нового профильного ЕГЭ по математике.
В новой версии, запускаемой с 2022 года, под заданием номер 3 подразумеваются простые задачи по геометрии из раздела планиметрии. Ранее, в старой версии ЕГЭ профиля, эти задачи шли под номером шесть.
Итак, предлагаю решить несколько подобных задач и освежить Вашу память.
Задача 1.
Треугольник АВС вписан в окружность с центром О. Угол ВАС Равен 32º. Найдите угол ВОС. Ответ дайте в градусах.
Источник: Проект ЕГЭ 2022.
Для начала, если рисунка нет в условии, то его надо обязательно нарисовать. Это же геометрия. И не старайтесь полагаться на память и воображение. Будет досадно ошибиться на ерунде.
Итак, рисуем окружность и вписанный в неё треугольник (кстати, Вы помните, какой треугольник - вписанный?):
Советую отмечать на рисунке исходные данные и то, что надо найти. Так задача будет выглядеть нагляднее и решать будет проще:
Ещё, на рисунке, я выделила дугу ВС. Я буду использовать её для решения, пожалуйста, обратите на это внимание.
Итак, как же нам найти угол ВОС?
Вспомним, что дуга, на которую опирается вписанный угол (помните, что это за угол?), в два раза больше этого угла. То есть:
А теперь, вспомним, что за угол ВОС, в данных условиях? Это центральный угол. А центральный угол, в свою очередь, равен дуге, на которую он опирается:
То есть ответ мы получили.
Однако, есть способ проще, некий лайфхак. Но поможет он только тем, кто хорошо знает теорию.
А теория нам нужна следующая: центральный угол в два раза больше вписанного угла, если они опираются на одну и ту же дугу. Тогда решение в одну строчку, или просто в уме:
Таким образом мы получили ответ:
Задача 2.
Площадь треугольника АВС равна 24; DЕ - средняя линия, параллельная стороне АВ. Найдите площадь треугольника CDE.
Источник: Проект ЕГЭ 2022.
И опять, начнём с рисунка, так как в условии его нет:
Кстати, Вы помните, кто такая средняя линия треугольника?
А что такое подобие треугольников?
Рекомендую Вам повторить эти разделы, если мои вопросы Вас смутили или напишите в комментариях и я подготовлю материал по необходимой для Вас теории.
А пока отметим, что треугольники АВС и DEC подобны:
А также вспомним, чему равна средняя линия треугольника:
Из всего, что мы только что выяснили, мы можем узнать коэффициент подобия данных треугольников (k):
Далее вспомним, что площади подобных треугольников относятся как квадрат коэффициента подобия:
Из последнего равенства мы без труда можем выделить площадь искомого треугольника:
Теперь осталось только эту площадь вычислить:
И, барабанная дробь, эту задачу тоже можно решить проще и короче, то есть опять лайфхак. Но, только если Вы хорошо знаете теорию.
Нужно провести две оставшиеся средние линии треугольника:
Тогда исходный треугольник мы поделим на четыре треугольника, площади которых равны:
И наш ответ:
Если Вы будете много тренироваться, то такую задачу Вы сможете решить устно за минуту)
Еще Вам может встретиться вот такая задача.
Задача 3.
Стороны параллелограмма равны 24 и 27. Высота, опущенная на меньшую из этих сторон, равна 18. Найдите высоту, опущенную на бОльшую сторону параллелограмма.
Источник: Проект ЕГЭ 2022.
И снова - рисунок. Тут нам не предлагают букв, но для просторы решения мы их добавим:
Надеюсь, Вы помните, что такое параллелограмм и его высоты))
Напоминаю, что данные в условии цифры лучше наносить на Ваш рисунок:
И теперь осталось только вспомнить как вычисляется площадь параллелограмма:
Так же вспомним, как взаимосвязаны стороны параллелограмма:
А теперь просто подставим известные нам цифры:
И найдём нужную нам величину:
И мы получили ответ:
Вот и всё.
Конечно, различных задач в этом разделе намного больше. Мы обязательно, со временем, решим их все.
Ещё раз хочу обратить Ваше внимание на то, что если у Вас появляются вопросы по ходу просмотра моих решений, пожалуйста, пишите их в комментариях. Я обязательно отвечу всем.
Спасибо за Ваше внимание.
Чтобы не пропустить новых решений и объяснений - подпишитесь на мой канал.