Какими бывают факториалы?

Добрый день.

Если честно, мне очень нравится математика. И я порой люблю углубляться в некоторые ее разделы. Сегодня расскажу о разновидностях факториала.

Базовое определение

Для начала напомню: факториал - это число, которое является произведением последовательных чисел от 1 до указанного числа. Обозначается восклицательным знаком.

Например, 1!=1, 2!=2, 3!=6, 4!=24, 5!=120, 6!=720, 7!=5040 и т.д.

Кратный факториал

M-кратным факториалом называют произведение всех натуральных чисел, которые имеют такой же модуль по M, что и указанное число (включительно).

При M=2 его называют двойным факториалом, и для нечетного числа он равен произведению нечетных чисел, а для четного - произведению четных. Обозначается M восклицательными знаками.

Например, 4!!=8, 5!!=15, 6!!=48, 7!!=105, 5!!!=10, 6!!!=18, 7!!!=28 и т.д.

Неполный факториал

Существуют и неполные факториалы, для которых наименьший множитель равен 3 или больше.

Суперфакториал

Суперфакториалом числа N называется произведение первых N факториалов.

Например, sf(3)=6*2=12, sf(4)=12*24=288 и т.д.

Гиперфакториал

Гиперфакториалом называется число типа 1^1*2^2*3^3*4^4*...*N^N.

Экспофакториал

Так называется число типа N^(N-1)^(N-2)^...^3^2. Различают экспофакториалы с правой и левой ассоциативностью.

Чередующий факториал

Число, представляющее собой чередующиеся сложение и вычитание факториалов. Короче, N!-(N-1)!+(N-2)!-(N-3)!+...

Вложенный факториал

Или, проще говоря, факториал факториала. Тут обязательно должны быть использованы скобки между знаками факториала, иначе в результате выйдет двойной факториал.

Например, (3!)!=6!=720

Смешанный факториал

Это сложная штука. С возрастанием исходного числа увеличивается степень операции: сначала сложение, потом умножение, затем возведение в степень, затем тетрация и т.д. Обозначается звездочкой.

Например, 1*=1, 2*=1+2=3, 3*=3*3=9, 4*=9^4=6561, 5*=6561^^5=6561^6561^6561^6561^6561 и т.д.

Функция обобщений экспофакториала

Для обобщений экспофаториала используется формула N!M, где при M=0 N!M=N!, при M=1 N!M=N^(N-1)^(N-2)^..., при M=2 N!M=N^^(N-1)^^... и т.д.

Для огромных M используются особые обозначения:

N![1]=N!N

N![M]=((N![M-1])![M-1])... (N раз)

N![1, 2]=N![N]

N![...1, M...]=N![...[...N, 1], M-1...]

Функция обобщений вложенного факториала

Для обобщений вложенного факториала используется другая формула - N![M], причем N![1]=(N!)!, N![2]=((N!)!)! и т.д.

Для огромных M используются особые обозначения:

N![1, 2]=N![N]

N![K, M]=((N![K-1, M])![K-1, M])... (N раз)

N![...1, M...]=N![...[N, M-1], 1...]

Функция обобщений суперфакториала

Для обобщений суперфакториала можно использовать следующую формулу - sf(N, M), где sf(N, 1)=sf(N), sf(N, M=sf(N, M-1)*sf(N-1, M-1)*...

Для огромных M можно использовать следующие обозначения:

sf(N, 1, 2)=sf(N, N)

sf(N, K, M)=sf(N, sf(N, K-2), M-1)

Бонус: Факсул

Факсул - число, равно факториалу числа 200. Имеет больше 300 десятичных знаков. Часто используется для составления очень больших чисел.

На этом все. До встречи!