Всем привет, меня зовут Андрей, это снова я!
Сегодня я хочу рассказать про окружности, которые вписаны в треугольник.
Окружность считается вписанной в треугольник, если все стороны треугольника касаются этой окружности.
Если в прошлой статье я рассказывал про те треугольники, которые вписаны в окружность, то в этой статье рассмотрим противоположный случай – окружность вписана в треугольник.
Точно так же (как и с тем случаем, когда треугольники были вписаны в окружность) мы будем начинать построение рисунка с окружности. Так гораздо удобнее. А уже потом – будем строить три касательные к окружности таким образом, чтобы полученный рисунок максимально соответствовал условиям задачи.
Рассмотрим конкретный пример – найдем задачу, где есть окружность, вписанная в треугольник.
- Найдите основание равнобедренного треугольника, если центр вписанной в его окружности делит высоту, проведенную к основанию, в отношении 12:5, считая от вершины, а боковая сторона равна 60 см.
Вначале построим окружность:
Затем, рисуя нужные нам касательные к окружности, получим треугольник, примерно похожий на тот, о котором говорится в условии задачи:
Небольшой комментарий для тех, у кого есть и время, и желание построить не примерно тот треугольник, о котором говорится в условии, а точь-в-точь такой треугольник. Если считать не от вершины, в которой сходятся боковые стороны, а от основания треугольника, то мы получим не 12:5, а 5:12. Это и будет косинусом того угла, под которым боковая сторона пересекает основание. Это соотношение даже можно доказать:
Мы видим, что треугольники АКВ и АМО подобны (по двум углам). А это значит, что углы МОА и КВА не только одинаковые, но и имеют одинаковый косинус. Если косинус первого угла – это отношение МО к АО и оно равно 5/12 по условию задачи, то и косинус угла КВА тоже будет 5/12. Если бы получилось такое отношение, которое является косинусом какого-то часто используемого угла и значение его косинуса не только есть в таблицах, но и многим известно наизусть – можно было бы считать, что задача решена, ведь у нас есть прямоугольный треугольник КАВ, известна и длина гипотенузы, и косинус угла, прилежащего к тому катету, длину которого нужно вычислить. Но пока эта информация – об угле КВА – нужна не столько для решения задачи, сколько для построения треугольника, точь-в-точь такого, о котором говорится в задаче. Это угол – арккосинус 5/12, или примерно 65,376 градусов.
Из подобия треугольников МОА и АКВ следует, что отношение ОМ:АО такое же, как и отношение КВ:АВ. Это отношение по условию равно 5:12, ведь и ОМ, и ОК – это радиусы одной и той же окружности, а значит, что они равны. Это значит, что вычислить КВ можно просто: достаточно 60 умножить на 5/12. И получится 25.
Остается вычислить основание треугольника АВС, о чем и спрашивалось в задаче. Поскольку в равнобедренном треугольнике АВС высота АК является также медианой, то СК=КВ, а СВ=2*КВ=2*25=50.
- Ответ: 50.