Всем доброго здравия! Сегодня разберем следующее иррациональное уравнение:
Итак, у нас есть иррациональное уравнение. А значит у нас есть ограничения на переменную икс, запишем:
Иррациональные уравнения часто можно решить заменой. Тут она тоже пригодится — для более простого восприятия:
С корнями вроде все ясно. Добавим еще z в квадрате:
Перезапишем исходное уравнение в несколько другом виде:
Воспользуемся заменами:
Рассмотрим первые два множителя. К положительному числу прибавляется квадрат переменной. Так как квадрат переменной неотрицательный — минимум каждого множителя будет достигаться при z = 0:
Теперь проанализируем оставшуюся скобку. Там наименьшее значение равно также двум. Чтобы это подробно показать рассмотрим функцию:
Возьмем производную функции:
Преобразуем производную:
Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю:
Тройка — точка экстремума. Выставим на числовую прямую:
Значит тройка — точка максимума. Подставим точку экстремума и граничные точки в рассматриваемую функцию:
Значит, мы можем утверждать, что:
Еще раз взглянем на рассматриваемое уравнение:
Наименьшее произведение, которое можно получить в левой части — это четыре. Если мы немного увеличим любой из множитель, то и результат будет больше четырех. Первые два множителя будут минимальны, если:
Вернемся к иксу:
Проверим полученный корень:
Все сходится! Итак, ответ на данное уравнение — 5.
Если есть комментарии к решению или вопросы, обязательно пишите. Спасибо за внимание, надеюсь вам понравилось!
Если вам понравились задачи, то ставьте лайки и подписывайтесь на канал. Математики будет много!