При каких λ однородная система уравнений имеет ненулевое решение?
Система однородных уравнений, у которой число неизвестных равно числу уравнений, имеет ненулевые решения, если определитель системы равен нулю.
Выпишем определитель системы и приравняем его к нулю, получим уравнение
Приведем определитель к треугольному виду, т. е. с помощью свойств определителя преобразуем его так, чтобы ниже главной диагонали стояли только нули.
Первый шаг: второй столбец умножим на (–1) и прибавим к первому
затем первую строку прибавим ко второй:
Второй шаг: третий столбец умножаем на (–1) и прибавляем ко второму
затем вторую строку складываем с третьей:
Продолжая этот процесс, на (n–1) шаге получим
Такой определитель равен произведению диагональных элементов
Тогда
Ответ: λ₁=-1, λ₂=n-1.