Найдите точку минимума функции y=x³+18x²+17 на отрезке [-3; 3].
Решение:
Напомним алгоритм поиска точки минимума/максимума функции:
1. Найти производную;
2. Приравнять ее к нулю и решить уравнение;
3. На числовой прямой расставить знаки производной с учетом ОДЗ;
4. Расставить стрелки, характеризующие поведение функции;
5. Точка максимума - переход с возрастания функции на убывание.
Точка минимума - переход с убывания функции на возрастание.
Итак, найдем производную:
y’=(x³+18x²+17)’=(x³)’+(18x²)’+(17)’=3x²+18(x²)’+0=3x²+18·2x=3x²+36x
Приравняем производную к нулю и решим уравнение:
3x²+36x=0
3x(x+12)=0
x=0 или x=-12
Расставим на числовой прямой знаки производной:
Схематично изобразим поведение функции: если функция возрастает, производная положительна; если функция убывает, производная отрицательна.
Максимум - переход с возрастания на убывание. Минимум - переход с убывания на возрастание.
Убедимся в том, что точка минимума принадлежит отрезку, указанному в условии задачи.
Ответ: 0