Муса Евлоев представитель одного из самого влиятельного в Ингушетии тейпа Евлоевых. Родился он 31 марта 1993 года в многодетной семье, помимо него в семье воспитывались его старшие брат и две сестры. В детстве он сначала занимался в секции бокса со своим братом Исой. Затем перешел в греко-римскую борьбу. Первый его тренер Владимир Хромов, сразу отметил талант и высокую работоспособность подростка. Вскоре семья перебралась в Калининградскую область, где он продолжил занятия под руководством тренера Давида Кадилова, но со своим первым тренером поддерживает отношения до сих пор.
Первые серьезные успехи пришли к нему именного в Калининградской области. В 2012 году он завоёвывает золото на чемпионате Европы среди юниоров, а в 2013 году - золото уже на мировом юниорском первенстве. К сегодняшнему дню в его арсенале два золота чемпионата мира, два золота чемпионата Европы и множество других побед на престижных турнирах, а самое главное достижение, это конечно золото ОИ-2020 в Токио, где он уверенно одолел соперника Артура Алексаняна со счетом 5:1.
Надо отметить, что за год до этого Евлоев перенес распространенное заболевание, его легкие были повреждены на 25%, однако он сумел восстановиться и пробиться на олимпийские игры. Благодаря тому, что он буквально катком проходится по соперникам, за ним давно закрепилось прозвище "Ингушский танк". Вообще же для своей небольшой республики он - настоящий герой. За золото на ЧЕ, Юнус-бек Евкуров, бывший тогда главой республики, подарил ему автомобиль, а за золото на чемпионате мира борец получил двухкомнатную квартиру. На его автомобиле красуется номер 111. Этот номер в Ингушетии означает принадлежность к роду Евлоевых, и если на улицах республики встретить машину с такими номерами, можно смело утверждать, что за рулем находится представитель этого древнего рода.
В свободное от интенсивных тренировок время чемпион любит велосипедные прогулки, путешествия, а из еды, как истинный кавказец, предпочитает жареное на углях мясо. Евлоев сейчас один из самых завидных женихов. Несмотря на свои 28 лет, он до сих пор не женат. Однако пожелания к будущей супруге у него есть уже сейчас. Во время он-лайн диалога с поклонниками, организованного Центром Управления регионом в Калининграде сразу после победы на ОИ, он сказал, что главное качество хорошей жены - во всем слушаться мужа. Сейчас всего его мысли устремлены на предстоящую Олимпиаду в Париже.