Теоретические основы математического моделирования.
Философскую концепцию моделирования составляют теория отражения и теория познания, а формально-методическую основу моделирования составляют теория подобия, теория эксперимента, математическая статистика, математическая логика и научные дисциплины, изучающие те предметные области, которые подлежат исследованию методами моделирования.
Согласно математической теории подобия абсолютное подобие может иметь место лишь при замене одного объекта другим точно таким же. При моделировании большинства систем (за исключением, возможно, моделирования одних математических структур другими) абсолютное подобие невозможно, и основная цель моделирования - модель достаточно хорошо должна отображать функционирование моделируемой системы. Одними из основных понятий, используемых в моделировании, являются понятия изоморфизма и гомоморфизма.
Изоморфизм и гомоморфизм (греч. isos — одинаковый, homoios — подобный и morphe — форма) — понятия, характеризующие соответствие между структурами объектов.
Две системы, рассматриваемые отвлеченно от природы составляющих их элементов, являются изоморфными друг другу, если каждому элементу первой системы соответствует лишь один элемент второй и каждой связи в одной системе соответствует связь в другой и обратно. Такое взаимно-однозначное соответствие называется изоморфизм (Рис. 1).
Рис. 1. К понятию изоморфизма
Изоморфизм связан не со всеми, а лишь с некоторыми выбранными в процессе анализа свойствами объектов, которые в других своих отношениях могут отличаться.
Гомоморфизм отличается от изоморфизма тем, что соответствие объектов однозначно лишь в одну сторону. Поэтому гомоморфный образ есть неполное, приближенное отображение структуры оригинала. Примерами гомоморфизма могут служить отношение между картой и местностью или отношение между грамзаписью и ее оригиналом.
Математическая модель представляет собой некоторую абстракцию реального объекта и строится как описание последнего на основе использования основных категорий и понятий. Рассмотрим эти понятия.
Под предметной областью будем понимать мысленно ограниченную область реальной действительности или область идеальных представлений, подлежащую описанию (моделированию) и исследованию. Предметная область состоит из объектов, различаемых по каким-либо признакам (свойствам) и находящихся в определенных отношениях между собой, или взаимодействующих каким-либо образом (Рис. 2).
Рис. 2. К понятиям объект, свойство, показатель