Приветствую Вас, уважаемые Читатели! Предлагаю вспомнить школьные годы, когда Вы только начинали познавать азы геометрии. Еще в седьмом классе учитель обязательно рассказывал Вам о различных способах нахождения площади треугольника. Особняком среди различных подходов стояла формула Герона, связывающая площадь треугольника с его полупериметром.
К сожалению, по моим школьным воспоминаниям попытки применить в той или иной задаче формулу Герона практически всегда приводили в тупик: тут и там возникали уравнения высших степеней и процесс стопорился.
Вот чего в школе не рассказывали, так это того, откуда выводится эта замечательная, не лишенная изящества, формула. Поехали!
Итак, дан произвольный треугольник. Сначала воспользуемся формулой площади через две стороны и угол между ними:
Почему используется основное тригонометрическое тождество для преобразования синуса в косинус? А потому, что дальше мы будем применять теорему косинусов:
Теперь нам лишь необходимо совместить две формулы. Процесс вроде несложный, то требуется последовательного поиска разностей/сумм квадратов и квадратов разностей/сумм в нагромождении символов:
И вот она, замечательная формула Герона, в которой p обозначает полупериметр треугольника:
Надеюсь, все её признали! Спасибо за внимание!