На доске выписаны натуральные числа большие 100, но меньшие 600, которые обладают следующими тремя свойствами: при делении на 4 и на 6 дают в остатке 3, а при делении на 9 дают в остатке 6. Найти количество таких чисел.
Эта задача была предложена в 2015-16 гг. на первом этапе репетиционного тестирования по математике в Беларуси. Входила в блок сложных задач под номером В12.
Решение. Найдем подбором наименьшее число большее 100, которое при делении на 9 дает остаток 6: 105. Все остальные числа, удовлетворяющее этому условию, образуют арифметическую прогрессию с разностью 9. Выпишем несколько первых членов этой последовательности:
105; 114; 123; 132; 141; 150; 159; 168; 177; 186; 195;
204; 213; 222; 231; 240; 249; 258; 267; 276; …
Среди выписанных чисел найдем числа, которые удовлетворяют первым двумя условиям:
123; 159; 195; 231; 267; …
Эти числа образуют арифметическую прогрессию с первым членом a₁=123 и разностью d=36.
Найдем наибольший номер члена этой прогрессии, который меньше 600. Для этого воспользуемся формулой n-го члена арифметической прогрессии:
тогда
Наибольшее натуральное n равно 14.
Ответ:14.