Евклидова геометрия - это исследование плоского пространства. Из законов евклидовой геометрии мы получаем знаменитые теоремы, такие как теорема Пифагора, и все формулы, которые мы изучаем в тригонометрии, например, закон косинусов. Открытие того, что существует более одной геометрии, чем геометрия Евклида имело фундаментальное значение для развития науки ХХ века.
Вскоре после того как Лобачевский и Бойяи построили новую гиперболическую геометрию, появилась другая неевклидова геометрия. Ее создал известный немецкий математик Бернхард Риман, который заменил пятый постулат Евклида другой аксиомой:
«Через точку Р, не лежащую на данной прямой l, не проходит ни одной прямой, параллельной данной»
Бернхард Риман родился в Ганновере и уже в юном возрасте был математически одаренным ребенком. В 16 лет, учась в Люнебургской гимназии, он проявил большие математические способности, и директор школы разрешал мальчику брать из своей личной библиотеки книги по математике. В 1846 г. Риман поступил в Гёттингенский университет, где изучал теологию по совету своего отца. Однако, в конце концов он перешел на философский факультет, где также преподавалась математика. Его учителями были такие светила, как Мориц Штерн и сам Гаусс. В 1847 г. Риман перешел в Берлинский университет, где преподавали Штайнер, Якоби, Дирихле и Эйзенштейн. Затем он вернулся в Гёттинген и получил докторскую степень по философии под руководством Гаусса. В 1854 г. Риман начал преподавать в университете и прочитал лекции по основам новой геометрии, но эти лекции были опубликованы лишь через два года после его смерти. Риман был избран членом Берлинской академии наук, но в конце концов был вынужден уехать из Германии для лечения от туберкулеза. Он закончил свои дни в Италии.
Однажды, когда Риман учился у Гаусса в Гёттингенском университете, профессору нужно было выбрать одного студента в качестве представителя группы. Он применил следующий метод отбора: «Каждый из вас предложит три темы. Руководство факультета выберет одну из них, и этот студент выступит с трехчасовым докладом по этой теме». Риман решил прокомментировать книгу Лобачевского «Новые начала геометрии». В своем предложении он написал знаменитые слова:
«Евклид утверждал, что через точку вне данной прямой можно провести только одну параллельную ей линию, Лобачевский писал, что параллельных ей линий можно провести сколько угодно, а я говорю, что нельзя провести ни одной» Риман
Сферический мир Римана
С обычным воздушным шариком можно провести интересный эксперимент, который поможет лучше понять геометрию Римана. На плоском ненадутом воздушном шарике нарисуйте отрезок прямой линии и измерьте его длину. Рядом с ним нарисуйте треугольник. Если теперь шарик надуть, то рисунки на его поверхности трансформируются. Как выглядят теперь отрезок и треугольник? Остался ли отрезок прямым? Равна ли сумма углов в треугольнике 180°? На надутом воздушном шарике прямая превращается в кривую, называемую геодезической линией, которая является большим кругом на сфере. Риман не мог провести этот простой, но наглядный эксперимент. В его время воздушные шарики еще не были изобретены.
Риман добавляет:
«Следовательно, бесконечной прямой не существует, потому что, в конце концов, она стала бы кривой, и не существует совершенно плоской поверхности, потому что при продолжении она должна следовать кривизне Вселенной. Но так как плоскость будет искривляться во всех направлениях, искривленная плоскость оказывается сферической. Единственная геометрия, которая действительно существует, является сферической».
Эта спонтанная презентация содержала самую суть будущей геометрии Римана, которая отличается и от евклидовой и от геометрии Лобачевского. В геометрии Римана нет прямых линий, а сумма углов треугольника больше 180°. Поверхность сферы является лучшей моделью для геометрии Римана. Сфера является частным случаем эллипсоида, удлиненной сферы. В этой модели прямые, как и в гиперболической геометрии, называются геодезическими линиями и являются большими окружностями, то есть такими окружностями, которые делят сферу на два равных полушария.
Риман не только построил эллиптическую геометрию, он также использовал алгебраические выражения (дифференциальные уравнения) для вычисления минимальных расстояний. Ему также удалось посчитать кривизну любого трехмерного пространства. Кроме того, его вычисления могут быть применены для многомерных пространств. Его результаты позже использовал Альберт Эйнштейн при работе над Теорией Относительности.
Истинная геометрия пространства-времени Эйнштейна
В начале 20 века Альберт Эйнштейн показал в контексте своей общей теории относительности, что истинная геометрия пространства лишь приблизительно евклидова. Это форма римановой геометрии, в которой пространство и время связаны в четырехмерном многообразии, и именно кривизна в каждой точке отвечает за гравитационную «силу» в этой точке. Эйнштейн провел последнюю часть своей жизни, пытаясь распространить эту идею на электромагнитную силу, надеясь свести всю физику к геометрии, но успешная объединенная теория поля ускользнула от него.
Одна из основных тем в римановой геометрии - изучение искривленных поверхностей. Подобные поверхности труднее изучать, чем плоские, но все же существуют теоремы, которые можно использовать для оценки длины гипотенузы треугольника, длины окружности и площади внутри круга. Эти оценки зависят от того, насколько поверхность искривлена или изогнута.
Многомерные пространства и гравитационное линзирование
Римановы геометры также изучают многомерные пространства. Вселенную можно описать как трехмерное пространство. Рядом с Землей Вселенная выглядит примерно как трехмерное евклидово пространство. Однако около очень тяжелых звезд и черных дыр пространство искривлено. Во вселенной есть пары точек, между которыми имеется более одной минимальной геодезической. Телескоп Хаббла обнаружил точки, между которыми и точкой, где расположен телескоп, находится более одной минимальной геодезической. Это называется гравитационным линзированием. Суть его заключается в том, что когда наблюдатель смотрит на дальний источник света в космосе через другой космический объект, форма дальнего источника света искажается. Такое искажение источника света может быть вызвано звездой или галактикой, через которую проходит свет от отдаленного объекта.
Существуют также данные, свидетельствующие о том, что искажать свет могут не только звезды и галактики, но и малые астрономические тела, например, планеты. Однако в данном случае искажение будет настолько незначительным, что зафиксировать его можно будет только при помощи сверхмощных оптических приборов, да и то зафиксированная величина будет чисто формальной. Степень искривления пространства можно оценить, используя теоремы римановой геометрии и измерения, сделанные астрономами. Физики считают, что кривизна пространства связана с гравитационным полем звезды в соответствии с уравнением в частных производных Эйнштейна в общей теории относительности. Таким образом, используя результаты теорем римановой геометрии, они могут оценить массу звезды или черной дыры, которая вызывает гравитационное линзирование.
Спасибо за внимание! Продолжение следует