«Во всей истории науки нет ничего более революционного, чем развитие неевклидовых геометрий, которое до основания потрясло веру в то, что теория Евклида является вечной истиной» Эдвард Каснер и Джеймс Ньюмен
История геометрии Лобачевского - это история попыток доказать пятый постулат Евклида. Этот постулат - одна из основных геометрических аксиом Евклида. Пятый постулат - последнее и самое сложное предположение, включенное Евклидом в его аксиоматику геометрии.
Пятый Постулат Евклида
если две прямые пересекаются третьей таким образом, что с любой стороны от нее сумма внутренних углов меньше двух прямых углов, то прямые линии пересекаются на этой стороне
Многие математики, жившие после Евклида, пытались доказать, что эта аксиома избыточна - может быть доказана как теорема на основе других аксиом, но все потерпели неудачу.
И только в XIX веке эту загадку решил профессор Казанского университета Лобачевский. Он пытался вывести различные последствия, основываясь на отрицании пятого постулата, надеясь, что рано или поздно он придет к противоречию. Однако он доказал многие десятки теорем, не обнаружив логических противоречий. А потом он догадался, что геометрия, в которой пятый постулат заменен его отрицанием, не противоречит. Лобачевский назвал эту геометрию воображаемой. Она кардинально изменила наше понимание физической реальности и повлияла на исследования Альберта Эйнштейна и открытие им теории относительности.
В 19 в. непоколебимое на протяжении столетий учение Евклида было наконец поставлено под сомнение самыми выдающимися математиками. Неудачные попытки доказать пятый постулат поставили под сомнение, казалось бы, неоспоримые основы традиционной геометрии. История альтернативных интерпретаций пятого постулата является историей гениальных открытий Лобачевского, Бойяи, Гаусса, Римана…
«Начала» Евклида и пятый постулат
Около 300 г. до н. э. гениальный математик античности Евклид написал свой магнум опус, великий труд «Начала», содержащий практически все известные в то время математические сведения. «Начала» Евклида были учебным пособием в течение почти 2000 лет и считались нерушимой основой геометрии. Первая печатная версия «Начал» появилась в Венеции в 1482 г. Это был перевод с арабского языка на латинский. Первая версия прямого перевода с греческого на латынь была опубликована в 1303 г.
Сведения о Евклиде крайне скудны. Ни дата, ни город его рождения точно не известны. Известно, что Евклид жил до Архимеда, ок. 325–265 гг. до н. э., и был современником Птолемея (367–283 гг. до н. э.). Стиль его рассуждений указывает на то, что он учился в Афинах с другими учениками Платона. Достоверно известно, что Евклид жил в Александрии, где преподавал математику на протяжении более чем 20 лет. Именно там он основал знаменитую школу, с которой и связан расцвет его научной деятельности и написание великого труда «Начала».
«Начала» состоят из 13 книг, содержащих 463 утверждений, 372 теоремы и 93 задачи. Основы учения Евклида сформулированы в первой книге «Начал», которая содержит 23 определения, 5 постулатов и 48 предложений.
Евклид формулирует пять знаменитых постулатов:
I. От всякой точки до всякой точки можно провести прямую линию.
II. Любой отрезок можно непрерывно продолжать по прямой линии.
III. Имея любой отрезок, можно описать круг с радиусом, равным длине этого отрезка, и с центром в одном из концов этого отрезка.
IV. Все прямые углы равны между собой.
V. Если две прямые пересекаются третьей, так что с одной стороны сумма внутренних углов меньше двух прямых углов, то эти две прямые неизбежно пересекаются друг с другом по эту сторону, будучи продленными достаточно далеко.
В соответствии с пятым постулатом, если сумма углов меньше двух прямых углов, то прямые линии будут сходиться (пересекутся). Значит, верно и обратное: если сумма углов больше двух прямых углов, то прямые линии никогда не пересекутся (они будут расходиться). Что произойдет, если сумма углов равна двум прямым углам? Тогда прямые линии и не сходятся, и не расходятся, то есть они будут параллельными и никогда не пересекутся.
Пятый Постулат Евклида под сомнением
Однако пятый постулат вскоре стал вызывать сомнения. Во-первых, его формулировка является более сложной, чем у других постулатов, и не кажется интуитивно ясной. Понятие параллельных прямых, которые можно неограниченно продолжать, фактически вводило понятие бесконечности. Кроме того, по формулировке Евклида пятый постулат больше похож на теорему, чем на универсальную истину. Таким образом, на протяжении веков многие математики были убеждены, что это на самом деле свойство прямых, которое может быть доказано, и поэтому пытались найти доказательство. В результате появилось большое количество эквивалентных формулировок пятого постулата.
В Новое время «Начала» Евклида как абсолютная истина на протяжении 23 веков, перестали существовать, и вместе с этим пошатнулось само понятие реальности в том абстрактном смысле, который в него вкладывали до сих пор.
Величайший мыслитель Иммануил Кант утверждал, что пространство является системой отсчета, существующей в человеческом сознании, и, следовательно, аксиомы и постулаты геометрии Евклида являются предопределенным знанием, понятиями, априори запечатленными в уме человека. Без этих аксиом и постулатов невозможно даже рассуждать о пространстве. Тем не менее, он был первым, кто допускал возможность существования другого типа геометрии. В своей первой работе, опубликованной в 1746 г., Кант рассматривает пространство с более чем тремя измерениями и говорит:
«Если возможно существование пространств с другими измерениями, то, скорее всего, Бог создал бы их, ибо его творения заключают в себе все величие и разнообразие, на которое они способны»
Пространства, которые предсказал Кант, являются известные в наше время Многомерные Неевклидовы Геометрии.
Одним из важнейших открытий геометров 19 века были Неевклидовы геометрии - это эллиптическая геометрия Римана и гиперболическая геометрия Лобачевского, открытия, потрясшие математический мир.
Под геометрией здесь понимается теория, описывающая свойства абстрактных точек и линий. До этого считалось, что геометрия — это система, кодифицированная Евклидом.
Самой первой Неевклидовой геометрией была Гиперболическая геометрия Лобачевского, которая возникла путем замены пятого постулата Евклида следующим утверждением:
«Через точку Р вне данной прямой проходит более одной прямой, параллельной данной»
Этим утверждением два математика Лобачевский и Бойяи почти одновременно решили проблему постулата о параллельных прямых, и поэтому они являются основоположниками первой неевклидовой геометрии. Они оба считаются авторами гиперболической геометрии, хотя они даже не слышали друг о друге и совершили открытие независимо друг от друга. Тому было несколько причин. Лобачевский писал только на русском языке, и его работы стали широко известны лишь через много лет после его смерти. Однако в настоящее время гиперболическая геометрия чаще всего ассоциируется именно с ним, а не с Бойяи, его коллегой из Венгрии.
23 февраля 1826 г. бывший учитель Николай Лобачевский поразил научное сообщество своей теорией о параллельных прямых на конференции, состоявшейся на физико-математическом факультете Казанского университета. Его первые результаты были опубликованы в 1829 г. в журнале Казанского университета. В 1835 г. он опубликовал работу целиком под названием «Новые начала геометрии», где утверждал:
«Всем известно, что в геометрии теория параллельных до сих пор оставалась несовершенной. Напрасное старание со времен Евклида заставило меня подозревать, что в самих понятиях еще не заключается той истины, которую хотели доказывать и которую проверить, подобно другим физическим законам, могут лишь опыты, каковы, например, астрономические наблюдения. В справедливости моей догадки будучи наконец убежден, и почитая затруднительный вопрос решенным вполне, писал об этом я рассуждение в 1826 г.»
Лобачевский происходил из бедной семьи государственных служащих. Родившись в Нижнем Новгороде, он большую часть жизни провел в Казани, ведя аскетичный образ жизни и полностью посвятив себя математике. Молодой Николай смог получить образование благодаря государственной стипендии и оказался удачной инвестицией царской России. В 1814 г. он получил место преподавателя в Казанском университете, а через два года стал экстраординарным профессором. Он также отвечал за библиотеку и астрономическую обсерваторию. В 1827 г. Лобачевский был избран ректором Казанского университета. Он занимал этот пост в течение 19 лет, которые стали периодом процветания университета. Лобачевский провел фундаментальные реформы и всячески поддерживал научные исследования. Парадоксально, но его блестящие результаты в работе над пятым постулатом привели к его увольнению. Согласно одной из мрачных легенд в истории математики, в 1846 г. Лобачевский был уволен ведущим математиком того времени Михаилом Остроградским, который не мог принять того, что Лобачевский бросил вызов самому Евклиду. Здоровье Лобачевского начало быстро ухудшаться, и в конечном итоге он потерял зрение. Ему пришлось диктовать многие из своих работ, в том числе свой последний труд «Пангеометрия» (1855). Умирая в Казани 24 февраля 1856 г., он понятия не имел о том, насколько была важна его работа для дальнейшего развития математики. Его научное наследие включает такие работы, как «О началах геометрии» (1829), «Воображаемая геометрия» (1835), «Применение воображаемой геометрии к некоторым интегралам» (1836) и «Новые начала геометрии с полной теорией параллельных» (1834–1838). В 1840 г. Лобачевский опубликовал небольшую книгу в 60 страниц, озаглавленную «Геометрические исследования по теории параллельных линий». Эта короткая работа широко разошлась в научных кругах того времени, но, несмотря на это, математическое сообщество было не готово принять заключенные в ней идеи.
В 1868 году итальянский математик Бельтрами изучил вогнутую поверхность, называемую псевдосферой, и доказал, что на этой поверхности работает геометрия Лобачевского!
Если провести на этой поверхности кратчайшие линии и по этим линиям измерить расстояние, сделать из дуг этих линий треугольники и т. Д., То окажется, что все формулы геометрии Лобачевского могут быть реализованы (в частности, сумма углы любого треугольника меньше 180 °).
Впоследствии появились и другие модели геометрии Лобачевского. Эти модели окончательно установили, что геометрия Лобачевского не противоречива. Таким образом, было показано, что евклидова геометрия не единственно возможная. Это оказало большое прогрессивное влияние на все дальнейшее развитие геометрии и математики в целом.
А в XX веке было обнаружено, что геометрия Лобачевского важна не только для абстрактной математики как одна из возможных геометрий, но и имеет прямое отношение к приложениям математики в физике. Выяснилось, что отношения пространства и времени, описанные в специальной теории относительности, напрямую связаны с геометрией Лобачевского. Например, формулы геометрии Лобачевского используются при разработке синхрофазотрона.
Этот рисунок Маурица Корнелиса Эшера (1898–1972) имеет альтернативное название «Ад и рай». На нем ангелы и демоны изображены в виде мозаики, так что пространство между фигурами одного вида образует фигуры другого вида. Еще один замечательный факт: фигуры становятся все меньше и меньше по мере приближения к краю круга, как будто уходят в бесконечность. Свойства этого пространства знакомят нас с неевклидовой гиперболической геометрией.
Спасибо за внимание! Продолжение следует