Чтобы оценить теорему Гёделя, необходимо понимание контекста, в котором произошло революционное открытие Геделя. Я попытаюсь дать неполный обзор истории математической логики.
Логика — одна из древнейших научных дисциплин. Формальная традиционная логика была создана в трудах Аристотеля ( 384–322 гг. до н.э.) на заре европейской цивилизации в Древней Греции. Аристотель — автор оригинальной, тщательно разработанной логической системы. Его силлогистика была исторически первой логической дедуктивной системой. Сам Аристотель свое логическое учение называл ”Аналитикой”. Ключевым в логике Аристотеля является понятие силлогизма.
Аристотель выделяет важнейший вид дедуктивных умозаключений — так называемые силлогистические умозаключения, или силлогизмы.
Аристотелев силлогизм представляет собой схему логического вывода (умозаключения), состоящую из трех простых высказываний S, M, P одного из четырех указанных видов A, E, I, O: два первых высказывания S, M — посылки, третье P — заключение. Википедия
Исследуя строение силлогизмов, он все термины в них представляет буквами. Этим он вводит в логику буквенные переменные, совершая тем самым фундаментальное открытие, которое собственно и позволяет считать его основателем формальной логики. Действительно, буквенная форма представления логики ясно указывает на то, что заключение получается не как следствие содержания посылок, а как следствие их формы и сочетания. Форма силлогизма характеризуется числом переменных, их расположением, соединениями терминов силлогизма (выражаемыми союзами ”и” и ”если”) и четырьмя отношениями между общими терминами. Аристотель развил систематическое исследование силлогистических форм.
Логика Аристотеля, таким образом, предстает как наука о законах, которым должны подчиняться силлогизмы, выраженных с помощью переменных. В течение двух тысячелетий считалось, что логика Аристотеля настолько совершенна, что не может иметь дальнейшего развития.
Идея математической логики (или скорее математизации формальной логики) впервые в ясной форме была выдвинута Лейбницем . Одним из первых Лейбниц высказал мысль о введении в логику математической символики и использовании в логике математических методов. Однако Лейбниц не создал законченной формализованной логической системы. Лейбниц значительно усовершенствовал счетную машину, ранее изобретенную Паскалем. Лейбниц выдвинул первые идеи о ”machina rationatrix”, думающей машине.
Синтезируя логику и математику в единую науку, Лейбниц преследовал две цели. Первая из них состояла в истолковании мышления как оперирования знаками в форме некоторого исчисления. Базой этого исчисления должна служить ”characteristica universalis”, т.е. всеобщая система знаковых обозначений для представления предметов и отношений между ними. Лейбницу принадлежит идея о том, что, записав исходные гипотезы на языке специальных знаков, можно, сформулировав правила логического вывода новых суждений из исходных, заменить рассуждение вычислением. Лейбниц также считал, что подобное универсальное логическое исчисление на практике может быть реализовано как вычислительная машина. Таким образом, задачу математической логики можно сформулировать следующим образом: заменить рассуждения вычислениями.
Вторая цель Лейбница — всестороннее применение логических исчислений в научном поиске. Лейбниц назвал будущую науку об исчислении умозаключений ”calculus ratiocinator”. Реализация программных установок Лейбница потребовала от него разработки ряда новых научных направлений. Прежде всего, необходим был метод, позволяющий разлагать сложные понятия на простые, сводя последние к небольшому количеству основных. Затем надо было найти подходящие символы (”характеры”), которые могли бы представлять и замещать понятия и термины естественного языка. Наконец требовались организующие принципы символического исчисления. Грандиозный метафизический проект Лейбница не мог быть осуществлен во всей полноте так, как он был задуман. Тем не менее, он дал мощный импульс развитию математической логики.
К концу XIX столетия окончательно сложилась алгебра логики. Проблемы строгого и точного обоснования математики и необходимость аксиоматического ее изложения исследовались в работах Фреге ( 1848–1925) и Пеано . Последний придал математической логике ее современную форму.
Д. Пеано в 1894 г. начал работу над изданием ”Formulaire de Mathmatiques” (”Формуляр математики”), в котором все математические дисциплины должны были бы предстать в форме логического исчисления. Пеано реализовал свой грандиозный проект ”Formulario Mathematico”, направленный на формализованное представление всех разделов математики в символике математической логики, в пяти изданиях в течение 1895–1908 гг., собрав в последнем из них приблизительно 4200 теорем на 516 страницах. При этом он заявил, что он до некоторой степени реализовал метафизическую программу Лейбница, что представляется справедливым, так как Пеано создал и логическую идеографию, т.е. символический язык, который впоследствии стал общеупотребительным, и формальную систему, представляющую математическое знание.
Пеано впервые сформулировал задачу применения символической логики с целью дедуктивно-аксиоматического построения всей математики. Ему принадлежит система аксиом для формальной арифметики натуральных чисел .
Завершается процесс представления математики как продолжения логики созданием фундаментального трехтомного труда Principia Mathematica (1910-1913) британскими математиками Расселом и Уайтхедом.
А. Уайтхед и Б. Рассел начали совместную работу по основаниям математики в 1903 г. в целях развития всего математического знания из небольшого числа четко сформулированных аксиом с помощью логических правил вывода. Краеугольным камнем предпринятой ими работы выступает логистическая концепция, которая утверждает, что математика принципиально сводима к формальной логике. Эта концепция включает в себя два важнейших положения:
1. все математические истины могут быть сформулированы в терминах некоторого символического языка и распознаваться как логические истины;
2. все математические доказательства могут быть переформулированы как символьные цепи логического вывода.
Появлением фундаментальной книги ”Principia Mathematica” Уайтхеда и Рассела заканчивается этап создания классических логических исчислений с целью представления всех математических дисциплин как формальных исчислений.
Эта программа обоснования математики на базе математической логики с помощью аксиоматического метода была сформулирована Гильбертом (1862–1943) в 1900 г на II Международном Конгрессе математиков, проходившем в Париже. Именно с предпринятой в начале XX века Гильбертом разработки теории доказательств на базе развитого в работах Фреге и Пеано логического языка обычно связывают становление собственно математической логики. Предложенный Гильбертом аксиоматический метод в перспективе сулил перевод всей математики на формальные рельсы с последующей ее универсальной алгоритмизацией.
В тридцатые года XX века, благодаря прежде всего, работам Геделя, Черча, Поста и Тьюринга, стало ясно, что программу Гильберта по обоснованию математики реализовать в полной мере невозможно.
«Сейчас мы менее чем когда-либо, уверены в первичных основаниях математики и логики. Мы переживаем свой «кризис» подобно тому, как переживают его все и вся в современном мире. Кризис этот продолжается вот уже пятьдесят лет На первый взгляд кажется, будто нашей повседневной работе он особенно не мешает. Тем не менее, я должен сразу же признаться, что на мою математическую работу этот кризис оказал заметное практическое влияние: он направил мои интересы в области, которые я считал относительно «безопасными», и постоянно подтачивал энтузиазм и решимость, с которой я занимался своими исследованиями. Мой опыт, вероятно, разделили и другие математики, небезразличные к тому, какое место их собственная научная деятельность занимает в этом мире в общем контексте бытия человека, интересующего, страдающего и созидающего» Г. Вейль, 1946 год
«…Состояние, в котором мы находимся сейчас в отношении парадоксов, на продолжительное время невыносимо. Подумайте: в математике — этом образце достоверности и истинности — образование понятий и ход умозаключений, как их всякий изучает, преподает и применяет, приводит к нелепости. Где же искать надежность и истинность, если даже само математическое мышление дает осечку?» Д. Гильберт
Безуспешные попытки разрешения парадоксов привели математиков к убеждению, что причины кризиса лежат в области фундаментальных понятий и способах рассуждений. Назрела необходимость переосмысления принципов математики и отказа от некоторых старых концепций. Разрушился сам идеал логики как критерий строгости математического доказательства. Поэтому перед математикой встала задача восстановления былой надежности и достоверности математического знания.
Спасибо за внимание! Продолжение следует