Дорогие читатели! Это моя первая статья в Дзене на тему занимательной математики. Будут ли последующие, зависит от вашего интереса к моему творчеству. Если статья понравится, не скупитесь на пальцы вверх. А подписавшись на канал, вы всегда будете в курсе последних его новинок.
На свете столько много вероятностей,
Внезапных, как бандит из-за угла,
Что счастье — это сумма неприятностей,
От коих вас судьба уберегла.
[Игорь Губерман]
Было дело, решали с учеником задачу из материалов подготовки к ЕГЭ (автор — И.В. Ященко). Вот она.
Задача №1.
На участие в турнире по теннису пришёл 51 участник. Участники разбиваются жеребьёвкой на пары. В турнире принимают участие 14 спортсменов из России. Найти вероятность того, что в первом круге российскому теннисисту Т. достанется соперник-соотечественник.
Задача с младшим номером 4, поэтому априори не может быть трудной. Очевидно, подразумевается применение классического определения вероятности: ВЕРОЯТНОСТЬ СЛУЧАЙНОГО СОБЫТИЯ РАВНА ОТНОШЕНИЮ КОЛИЧЕСТВА БЛАГОПРИЯТНЫХ ИСХОДОВ К ОБЩЕМУ ЧИСЛУ ИСХОДОВ.
Спортсмену Т. может достаться с равной вероятностью любой из оставшихся 50 теннисистов, а требованию задачи благоприятствуют 13 исходов из оставшихся российских спортсменов (сам Т. — 14-й). Стало быть, вероятность равна 13/50 = 0,26. Именно таков ответ в упомянутой книге.
Но правилен ли он? Следует заметить, что на турнир заявилось нечётное количество участников, поэтому они не могут все быть разведены по парам. Одному пары не достанется. Это же очевидно! Как автор задачника мог этого не заметить?…
Поэтому решение задачи усложняется. Классическое определение можно применить, только если быть уверенным, что Т. играет в первом круге. Вероятность того, что игроку Т. достанется соперник в первом круге, в свою очередь, тоже вычисляется с помощью классического определения; она равна 50/51.
Пусть события А — «игрок Т. принимает участие в первом круге», В — «российскому игроку Т. достался в соперники российский спортсмен».
Тогда р (А) = 50/51, р (В / А) = 13/50. Здесь р (В / А) — это условная вероятность события В относительно события А.
Событие, про которое спрашивается в задаче, это произведение событий А·В (то есть когда события А и В осуществляются одновременно в одном опыте). По знаменитой из школьного учебника 11-го класса формуле умножения вероятностей: р (А·В) = р (А) · р (В / А) = (50/51) · (13/50) = 13/51.
Таким образом, правильный ответ: 13/51.
Но такой ответ противоречит формату ЕГЭ! Дело в том, что первые 12 задач проверяет компьютер, который обыкновенные дроби не «понимает», а «воспринимает» только десятичные дроби. Поэтому учеников обязывают переводить ответы из обыкновенной формы в десятичную. А с дробью 13/51 это проделать невозможно.
Я полагаю, что в постановке задачи явный прокол автора книги. Особенно обидно за наших несчастных школьников, купивших эту популярную книжку, учитывая, что прокол допущен в варианте №1, с которого все, как правило, и начинают тренировку.
Надо сказать, что формула, использованная при корректном решении задачи №5, очень популярна и часто встречается на практике. Вот совсем свежий пример реальной задачи, которую мне довелось решать в последнее время.
Задача №2.
Два моих ученика, Трофим и Дима, недавно приняли участие в шахматном соревновании в Нижнем Новгороде. Всего было 52 участника. И надо ж такому случиться — при 7 турах им однажды выпало сыграть между собой! Стоило ехать в такую даль, чтоб играть со своими, — ворчал я по этому поводу. И задался вопросом: а какова вероятность такого события?
Сразу же надо напомнить, что по правилам проведения шахматных соревнований два игрока не могут сыграть между собой более одной партии в рамках одного турнира. В преферансе такое возможно, в шахматах же — никогда.
Давайте рассуждать. Зафиксируем одного из двух рассматриваемых игроков; пусть для определённости это будет Трофим. Тогда вероятность того, что Дима достанется ему в 1-м туре, равна 1/51 (так как среди возможных соперников Трофима в 1-м туре 51 участник). Вероятность того, что Дима достанется Трофиму во 2-м туре, равна 1/50 (так как остаётся 50 возможных соперников; исключается соперник Трофима по 1-му туру). Вероятность встречи Трофима и Димы в 3-м туре равна 1/49, и так далее, вероятность их встречи в последнем туре равна 1/45. Поскольку требованию задачи удовлетворяет встреча двух друзей в любом из семи туров, между этими однотипными событиями можно поставить союз «или», что соответствует в Теории Вероятностей сумме событий, вероятность которой вычисляется как сумма соответствующих вероятностей (поскольку эти семь событий, безусловно, несовместны: в двух разных турах Трофим и Дима встретиться не могут).
Получается, что искомая вероятность равна 1/51 + 1/50 + 1/49 + 1/48 + 1/47 + 1/46 + 1/45 — логично? Так — да не так!
Теория Вероятностей, несмотря на кажущуюся простоту своих формул, весьма коварная и непростая вещь. Дело в том, что в вышеприведённых рассуждениях закралась одна весьма распространённая среди новичков ошибка. В расчёте всех вероятностей, начиная со 2-го слагаемого, не учитывалась их условная составляющая. Скажем, вероятность встречи Димы и Трофима во 2-м туре надо вычислять при дополнительном условии, что они не играли меж собой в 1-м туре. Вероятность того, что Дима и Трофим не играли в 1-м туре, равна, очевидно, 50/51. Это и есть условная вероятность (см. формулу в решении задачи №5). Тогда вероятность того, что Трофим и Дима сыграют во 2-м туре, по формуле умножения вычислится как (1/50) · (50/51) = 1/51.
Аналогично можно вычислить 3-е слагаемое. Вероятность того, что Дима не достанется Трофиму в 1-м туре, равна 50/51; вероятность того, что Дима не достанется Трофиму во 2-м туре, равна 49/50. Следовательно, вероятность того, что Дима не достанется Трофиму в первых двух турах, равна произведению отдельных вероятностей (50/51) · (49/50) = 49/51.
Можно рассуждать и по-другому. Пусть событие А — «Трофим не сыграет с Димой в первых двух турах». Тогда противоположное ему событие В — «Трофим сыграет с Димой в первом или втором туре». Согласно проделанным уже вычислениям, р (В) = 1/51 + 1/51 = 2/51. Так как события А и В противоположны, то они образуют в своей совокупности достоверное событие, а значит, сумма их вероятностей равна 1. Откуда р (А) = 1 — р (В) = 1 — 2/51 = 49/51. Как видим, разные (но корректные!) способы вычисления приводят к одному результату — так и должно быть.
Так или иначе, вероятность того, что Трофим сыграет с Димой в 3-м туре, по формуле условной вероятности равна (1/49) · (49/51) = 1/51.
Опять то же значение! Что же это получается: в каком туре ни ожидай встречу наших друзей — а вероятность этого события не изменяется! Сколь ни парадоксально, но это так. Потому что так получается в корректных рассуждениях и в конкретных расчётах. А ведь кажется, что в каждом последующем туре, при сужении круга кандидатов в соперники, вероятность встречи двух фиксированных участников должна расти.
Индуцируя проведённые рассуждения на 4-й и последующие туры, будем получать такую же вероятность 1/51. Рекомендую проверить самостоятельно. Значит, вероятность того, что Трофим сыграет с Димой в 7 турах, равна 1/51 + 1/51 + … + 1/51 (7 раз), то есть 7 · 1/51 = 7/51.
Ответ: 7/51.
Опровергнуть неверный способ вычисления искомой вероятности как сумму дробей с уменьшающимися знаменателями при постоянном числителе, равном 1, можно следующим рассуждением. Будем увеличивать число туров в соревновании, вплоть до 51. При 51 туре и 52 участниках так называемая швейцарская система (когда пары определяются жребием при их неповторяемости) превращается в круговую систему — когда каждый сыграет с каждым по разу. Понятно, что вероятность того, что Трофим сыграет с Димой в 51 туре, равна единице, потому что получается достоверное событие. К этому приводит и полученная при решении формула: 51 · 1/51 = 1.
А если вычислять первым способом, то получим сумму р = 1/51 + 1/50 + … + 1/3 + ½ + 1/1. В этой сумме 51 слагаемое, и она намного больше 1. Одно только последнее слагаемое уже даёт 1; сумма трёх, стоящих левее последнего, 1/2 + 1/3 + 1/4, больше 1; и т.д. Значит, предложенная сумма не даёт правильного результата.
И ещё замечание. Полученная формула провоцирует вопрос невежды и лентяя: а нельзя ли сразу поделить число туров соревнования на число всех соперников фиксированного участника и не утомляться промежуточными рассуждениями?
Нельзя. Суть математических исследований состоит в обосновании формулы, а не в бездумном её применении. Все утверждения должны быть безупречно обоснованными логически. На том и стоим.
Не забудьте выбрать "палец вверх"! (Это тот, что слева)