Алоха, дорогие любители математики! Сегодня разберем такую прелесть:
Решить ее нужно в целых числах. А значит перед нами — диофантово уравнение.
Диофантово уравнение — это уравнение (как правило, с несколькими неизвестными), решение которого ищется в целых (иногда в натуральных) числах.
Классический пример решения уравнения такого типа — представление уравнения в виде произведения множителей, равному некоторому целому числу. Для небольших чисел возможные множители можно угадать, и тем самым решить уравнение.
Итак, хотим сделать в левой части произведение, но пока что непонятно, как. Второе и третье слагаемое явно намекают на полный квадрат. Возьмем из минус четверки минус единицу:
Все кричит о полном квадрате:
Соберем его, заодно перенесем тройку вправо:
Сейчас сложнее, но мы опять можем найти полный квадрат. Отнимем и прибавим в левой части y квадрат:
Ну вот, все прекрасно собирается:
И получается разность квадратов:
Которую мы, конечно же, раскроем:
Преобразуем. Получаем произведение двух целых множителей в левой части и число в правой:
Что можно перемножить между собой и получить три? Не забываем, что мы в целых числах. Тогда это — 3 и 1, или -3 и -1. Распишем все варианты:
Каждая из систем будет решаться аналогично. Сначала сложим уравнения. Икс сократится, найдется игрек. По игреку определяем икс:
Аналогично для отрицательных:
Выпишем все ответы:
Ответ есть, задача решена, если есть комментарии к решению или вопросы, обязательно пишите! Спасибо за внимание, надеюсь вам понравилось!
Если вам понравились задачи, то ставьте лайки и подписывайтесь на канал. Математики будет много!