Доброго времени суток, дорогие любители математики!
Разберем задачу:
a) Докажите, что треугольник MNH подобен треугольнику ABC.
б) Найдите CN, если BC = 2, AC = 4, CM = 1.
В первую очередь изобразим на чертеже все, что дано в условии:
Заметим, что в четырехугольнике MHNC два противоположных угла — прямые и в сумме дают 180°:
О чем это говорит? Конечно, вокруг четырехугольника MHNC можно описать окружность:
Заметим, что углы HMN и HCN опираются на одну дугу окружности, а следовательно равны:
Примем один из углов за альфу, чтобы было удобнее записывать:
Рассмотрим треугольники MNH и HBC. Оба этих треугольника — прямоугольные, а значит углы HNM и HBC также можно выразить через альфу:
Отметим это на рисунке:
Видно, что угол CAB в большом треугольнике — также равен альфе:
Можем сделать вывод, что треугольники подобны по двум равным углам:
Разберемся со вторым пунктом. Теперь нам известны стороны — нужно найти CN. Знаем, что вокруг MHNC описана окружность, следовательно сумма противоположных углов равна 180°:
Кроме того, развернутый угол равен 180°:
Отсюда можно сделать вывод о равенстве углов CMH и HNB:
Рассмотрим прямоугольный треугольник AHC, угол А равен альфа, поэтому:
Тогда, треугольники MCH и HNB также подобны по двум углам:
Так как треугольники подобны, то и их стороны подобны:
А отношение MH к NH можно найти из треугольника ABC, так MHN и ABC подобны:
Осталась пара элементарных действий:
И найдем CN:
Ответ есть, задача решена, если есть комментарии к решению или вопросы, обязательно пишите! Спасибо за внимание и удачи!
Если вам понравились задачи, то ставьте лайки и подписывайтесь на канал. Математики будет много!