Вы, наверное, знаете из телевизора, что на международные олимпиады едет не один человек, а целая команда. В эту команду надо пройти отбор. Разумеется, по знакомству, по связям или за деньги туда не попасть. Да и зачем? Надо быть смышленым.
Так вот это одна из задач, которую требовалась решить американским школьникам, претендующим попасть в сборную США по математике (по-моему в 2001 году), чтобы отправиться международную олимпиаду.
На мой взгляд, задача не особо сложная. У меня на канале встречались сложнее и интереснее. Никаких сверхзнаний тут не требуется, достаточно того, что проходят у нас в общеобразовательных школах в 8-9 классе ( в зависимости от программы). Так что попробуйте решить, чтоб мозги не засахаривались.
Всё условие на картинке. Площадь прямоугольника равна 10. Надо найти площадь заштрихованного треугольника.
Как решать? Тут предлагаю остановиться и подумать каждому самостоятельно, потому что задача, хоть и несложная, но интересная. Чтобы вы ненароком не подсмотрели решение, вот вам гифка ленты Мёбиуса, а сразу под ней будет решение.
Решение
Я вижу решение этой задачки так, но у вас может быть другое решение, комментарии открыты, велком туда.
1. Сначала надо понять, как вообще искать площадь искомого треугольника. Я предлагаю отнять из площади красного треугольника площадь синего треугольника. Теперь дело за малым — найти площади этих треугольников.
2. Красный и жёлтый треугольники подобны по двум углам (вертикальные и накрестлежащие). Одна сторона желтого треугольника равна a/3, а соответствующая сторона красного треугольника равна а/2, следовательно коэффициент подобия k1=2/3.
Высоты треугольников (на рисунке обозначены черным) имеют такой же коэффициент подобия, значит, если высоту красного треугольника обозначить за Х, высота желтого треугольника будет 2Х/3. А сумма высот равна ширине большого прямоугольника и равна h=X+2X/3 = 5X/3. Выразим отсюда X и получим X=3h/5.
3. Переходим к двум другим треугольникам: синему и зеленому. Они тоже подобны. Так как одна сторона зеленого треугольника равна 2а/3, а соответственная сторона синего треугольника равна а/2, коэффициент подобия k2=4/3.
Такой же коэффициент подобия у высот этих треугольников, поэтому если мы обозначим высоту синего треугольника за Y, высота зеленого будет равна 4Y/3. А сумма высот, которая так же, как и в случае красного и желтого треугольников, равна ширине прямоугольника равняется h=Y+4Y/3 = 7Y/3. Выразим Y=3h/7.
4. Теперь всё просто, находим разность площадей красного и синего треугольников. S=Sк-Sс = ½•½•а•(⅗h-3h/7) = ¼•а•h•[(21-15)/35] = 3ah/7.
Так как ah — это и есть площадь прямоугольника и она по условия равна 10, значит, площадь искомого треугольника равна 30/7 или 4 целых и 2/7.
Вот и вся олимпиада. Надо сказать, у нас задачи как-то посложнее дают на отборе. Как вам? Понравилась? Почувствовали себя межнаром по математике?