Этот фразеологизм означает твёрдую решимость бороться с кем-либо или с чем-либо до конца. Это книжное выражение, поэтому в разговорной речи неуместно.
По мнению историков, карфагенский полководец Аннибал (или Ганнибал, 247-183 г.г. до н.э) рассказывал, что, когда ему было десять лет, отец заставил его дать клятву, что он всю жизнь будет непримиримым врагом Рима, который Карфаген превратил в свою колонию. Клятву Аннибал сдержал.