Математика онлайн. Доступно о сложном. Серия «Задачи студенческих олимпиад»
Здравствуйте, уважаемые любители математики!
Попробуем подставить бесконечность вместо n. Увидим, что первый множитель стремится к плюс бесконечности, а квадрат синуса пробегает все возможные значения от нуля до единицы. Т.е. второй множитель не стремится ни к какому пределу.
Из этого следует, что найти предел простой подстановкой невозможно.
Преобразуем выражение, стоящее под знаком предела.
Это можно сделать двумя способами.
1) Использовать формулу синуса суммы. При этом потребуется учесть, что синус угла pi*n при целых значениях n равен нулю.
2) Применить формулы приведения. Знак полученной функции будет зависеть от четности n. Однако, так как синус возведен в четную степень, то при любом n второй множитель будет положительным.
На этом этапе должно получиться
Далее можно заметить, что при стремлении n к бесконечности аргумент синуса будет стремиться к нулю. Следовательно, можно воспользоваться первым замечательным пределом или (еще удобнее) эквивалентностью функций. После сокращения получается ответ.
Если решение крупными мазками не очень понятно, то подробности можно посмотреть здесь (на моем сайте). Текст статьи открывается, если кликнуть по ее карточке.
Не забудьте подписаться на канал, если
- Вам интересны вопросы, которые здесь разбираются;
- Вам могут потребоваться консультации по математике (подробнее здесь).
Задание - из книги "Задачи студенческих олимпиад по математике". Авторы-составители - Беркович Ф.Д., Федий В.С.
Другие статьи серии "Задачи студенческих олимпиад"
О канале