Задача #11: Логарифмическое уравнение на подбор корня

Всем добра, дорогие любители математики!
Сегодня разберем задачу с «непривычным» решением:

Какие мысли возникают при взгляде на это уравнение? Есть смесь логарифма и квадратного трехчлена. Можно получить показательное уравнение, потом опять логарифмическое и так до бесконечности.

Обратим внимание, на одинаковые конструкции внутри и снаружи логарифма, очевидно, нужна замена:

Заметим, что новая переменная может принимать только следующие значения:

Чтобы лучше это понять изобразите график левой части уравнения, которое вводит замену.

Получим:

Помним, что для аргумента логарифма есть некоторые ограничения:

Обратите внимание, что данное условие строже, чем предыдущее условие для t

Оставим логарифм в левой части, а все остальное перенесем вправо:

Изобразим на координатной плоскости левую и правую части уравнения:

Важный момент, левая часть у нас монотонно возрастает, правая — монотонно убывает. Итак, решение существует и оно единственно. По графику видно, что это за решение:

Мы не просто говорим, что 2 — решение, найденное по графику. Его стоит проверить, подставив в уравнение.

Двойка больше единицы, поэтому вернемся к иксам:

Преобразуем:

Корни легко найти подбором:

Оба корня являются ответами для данного уравнения.

Спасибо за внимание и удачи!

Если вам понравились задачи, то ставьте лайки и подписывайтесь на канал. Математики будет много!