Классическое понятие истинности базируется на основном принципе теории отражения: утверждение истинно, если и только если оно соответствует действительности.
В ХХ веке против классической концепции истинности выдвинулось возражение, что она не объясняет истинность утверждений о будущем, о возможном и необходимом. Если действительность понимать просто как совокупность наличных фактов, то эти трудности непреодолимы. В ХХ веке развитие новой модальной логики показало, что можно построить классическую теорию истинности и для таких утверждений. В этом случае действительность понимается не как совокупность наличных фактов и состояний, но и как то, что потенциально содержит в себе возможности будущих состояний.
Классическая логика абстрагируется от того, что познание есть процесс, что знание не дано раз и навсегда в готовом виде. Учет этого фактора приводит к более объемному понятию истинности. Учет того, что знание потенциально присутствует в действительности, приводит нас к интуиционистской логике.
Интуиционистскую логику часто противопоставляют классической, как логику бытия логике классической рассудочности
Начало XX века ознаменовалось кризисом в математике. На рубеже XIX—XX веков в одном из фундаментальных разделов математики — теории множеств были обнаружены парадоксы-противоречия, возникающие в результате совершенно корректных рассуждений.
Многовековое развитие математики показало, что непротиворечивость — это ее основополагающий научный принцип. Математическая теория R является непротиворечивой, если в ней не наличествуют взаимоисключающие предложения. Наличие противоречий «разваливает» математическую теорию. Простой пример: если бы согласно таблице умножения 9 : 3 = 3 и 8 : 3 = 3, то ее невозможно было бы использовать.
В основе всей математики лежит теория множеств — детище Георга Кантора.
Многим математикам казалось, что благодаря исследованиям Кантора математика должна стать более стройной и единой — состояние, которое немецкий математик-универсал Давид Гильберт назвал «раем». Когда обнаружились противоречия в теории множеств, математики стали выражать сомнения в самих основаниях математики, Гильберт писал: «Никому не дано изгнать нас из канторовского рая!»
Из канторовского рая математиков и логиков, в итоге, изгнал австрийский математик и логик Курт Гедель.
Главная идея Геделя — идея « ограничивающих» результатов
Великая теорема Геделя "Любая формальная система либо неполна, либо противоречива"
В результате разрешения кризиса в 1931 году Курт Гедель показал, что понятие «доказуемость» уже понятия «истинность» вне зависимости от того, какую аксиоматическую систему выбираем. Он сформулировал терему о неполноте:
все непротиворечивые аксиоматические формулировки теории чисел содержат неразрешимые суждения
Главная идея Геделя — идея « ограничивающих» результатов - "любая формальная система либо неполна, либо противоречива'. Такое доказательство закончило эпоху надежд, что математика сможет решить все проблемы. Сейчас эта идея в «воздухе», тогда, в 30-40-х годах XX столетия, была «громом среди ясного неба». Выводы Геделя произвели электризующий эффект на математиков, логиков и философов. Современная культура впитала идеи Геделя вместе с революционныни идеями теории относительности и квантовой механики.Эти концепции изменили логику мышления ХХ века.
В результате развития математической логики была установлена неизбежная ограниченность любой «механической» системы получения математических результатов. Таким образом, мечта Лейбница: все рассуждения свести к механическому выполнению определенных дей- ствий по установленным правилам — оказалась невыполнимой.
Один из краеугольных камней философии начала века — сама идея познаваемости мира с помощью традиционного формального ло- гического мышления, т. е. с помощью классических логических законов разума была разрушена
Во всяком случае, принципиальная неразрешимость проблемы «разрешимости всех проблем» была установлена в 30-е годы австрийским математиком Куртом Геделем.
Интуиционистская логика
Известный французский математик Анри Пуанкаре (1854-1912), рефлексируя собственное математическое творчество, актуализировал идею интуиции, лежащую в основе его творческого метода. По его мыс- ли, теория — это последующая формализация первоначально интуи- тивной идеи. В этом смысле Пуанкаре является продолжателем Рене Декарта с его представлениями о врожденных идеях, являющихся основаниями познания.
В ХХ веке в математике и логике возникло движение интуиционизма, для которого работы Пуанкаре сыграли роль пускового толчка. Особенность интуиционизма — конструктивный подход к рождению нового знания. В этой логике суждения понимаются не так, как в классической. В классической логике утверждение А означает,что положение дел, описываемое А, имеет место в действительности. В интуиционистской оно означает: доказано конструктивно, что положение дел может иметь место.
Спасибо за внимание! Продолжение следует