Уважаемые читатели, эта статья, посвящённая рациональным уравнениям, является первой из нескольких статей по рассматриваемой теме. В настоящей и последующих публикациях я расскажу о 18 видах различных уравнений этого типа. Считаю, что, овладев этой темой, проще справиться с решением других видов уравнений: иррациональных, тригонометрических, показательных и логарифмических, многие из которых сводятся к рациональным.
Замечу, что мною будут не только приведены решения уравнений, иллюстрирующие методы, обозначенные в заголовке, я предложу Вам задания для самостоятельной работы. Свериться с ответами к ним Вы сможете в разделе "Комментарии" в конце статьи.
При решении уравнений, приводимых в качестве примеров, я буду находить только действительные корни (хотя с введением на ЕГЭ темы "Комплексные числа" можно ожидать, что этого будет не достаточно).
Сначала немного теории (листайте вправо).
Для чего нам нужно понятие равносильности двух уравнений?
Дело в том, что заданное уравнение может быть записано в сложном виде, и найти без каких-либо преобразований все его корни не представляется возможным. Применив равносильные преобразования (приводящие к равносильным уравнениям), мы сможем заменить сложное уравнение более простым, имеющим те же самые корни. Переходя от одного уравнения к другому, мы достигаем нужного нам результата именно с помощью этих равносильных преобразований.
Основные равносильные преобразования над рациональными уравнениями
1. Простейшие рациональные уравнения
Уравнения видов 1 и 2 будут встречаться часто в моём изложении, поэтому сейчас я не буду приводить их примеры.
2. Квадратное уравнение
О 10 способах решения квадратного уравнения я написала статью "Топ-10 способов решения квадратного уравнения". Вы можете перейти по голубой ссылке и увидеть, как решаются такие уравнения.
3. Рациональные уравнения, решаемые методом разложения на множители
А теперь разберём решение уравнений этим методом на примерах.
4. Рациональные уравнения, решаемые методом замены (не специальной)
Попробуйте решить следующие уравнения, используя методы, которым я посвятила эту статью.
Ещё раз напомню, что сравнить свои ответы с правильными ответами к этим заданиям Вы сможете в разделе "Комментарии".
Следите за следующими выпусками моих статей.
Продолжение цикла опубликовано в статье "Рациональные уравнения с одним неизвестным: специальные замены".
Вы находитесь на дружелюбном канале.
Уважайте себя. С уважением, автор.