Давным-давно в далекой-далекой стране жил спортсмен-чемпион, который буквально мог плавать кругами вокруг своих конкурентов. Он хотел подготовиться к чемпионату мира по плаванию в кругу, но из-за пандемии ему пришлось сделать это изолированно. Федерация плавания его страны построила посреди леса озеро идеально круглой формы, где он мог безопасно тренироваться. Рабочие отметили дно чистого озера концентрическими кругами и измерили радиус, чтобы он мог легко определить, где он находится. Если вы не знали, плавание по кругу - это удивительная водная техника, в которой спортсмен может плыть по любой изогнутой траектории так же быстро, как и по прямой. Размер озера был тщательно откалиброван с учетом максимальной скорости плавания спортсмена, которая составляла 1 единицу расстояния за 1 единицу времени. Радиус озера составлял 3,5 единицы в длину, поэтому ему потребовалось ровно 3,5 единицы времени, чтобы проплыть один полный радиус. Чтобы помочь ему сориентироваться, центр озера был четко обозначен буем.
Вряд ли федерация знала, что лес был небезопасен. Однажды, тренируясь недалеко от центра озера, пловец заметил на берегу медведя, жадно поглядывающего на него. Он быстро доплыл до центра озера, чтобы оценить ситуацию. Медведь определенно преследовал его, кружил по озеру с постоянной скоростью и не подавал никаких признаков того, что сдавался. Но медведь не рискнул зайти в озеро, где пловец легко мог бы его обогнать. Он заметил, что, хотя медведь двигался медленно, его скорость бега была в 3,5 раза выше, чем он мог плавать. Он немного подустал и понял, что не может оставаться в озере бесконечно. Он был уверен, что, если ему удастся выйти из озера раньше медведя, он сможет быстро броситься в окружающие деревья и уклониться от животного.
Подумайте на мгновение об описанном выше сценарии, прежде чем читать дальше или пытаться произвести подробные вычисления. По какому принципу должен плыть этот спортсмен, чтобы иметь наилучший шанс сбежать?
Вы придумали план стратегии? Хорошо, теперь вы можете читать дальше.
Есть животное, которое часто оказывается в положении, похожем на положение пловца, и выработало эффективную стратегию, чтобы расстроить своих преследователей: обыкновенная серая белка. Белка, преследуемая собакой, всегда позиционирует себя в точке, диаметрально противоположной своему преследователю, одновременно забираясь выше на дерево и быстро спасаясь бегством. Белка полагается на свою гораздо более высокую угловую скорость, поскольку она перемещается по меньшей окружности, чем преследующая собака, которая должна сделать гораздо больший круг вдали от дерева. Эта стратегия настолько эффективна , что астронавт использует его , чтобы избежать вражеской космического крейсера в Артуре Кларк прятки .
Вы можете видеть, как такая стратегия может пригодиться в сценарии с пловцом. Полное решение проблемы требует подробных расчетов, поэтому давайте продолжим шаг за шагом с нескольких наборов небольших вопросов. Находя ответы на эти вопросы, вы должны исходить из того, что медведь инстинктивно будет следовать наиболее выгодной для себя стратегии.
Головоломка 1
- Как пловец может применить стратегию белки (держаться в направлении, диаметрально противоположном медведю), чтобы занять лучшую позицию для побега?
- Какой путь следует при этом пловцу?
- Сколько полных поворотов сделает пловец, прежде чем стратегия с белкой перестанет быть полезной?
- Сколько времени нужно, чтобы достичь этой точки?
- Сможет ли пловец наконец увернуться от медведя?
Это классическая проблема, которая уже исследовалась ранее. Некоторым читателям это может быть знакомо, хотя мы изменили цифры. Если вы зашли так далеко, попробуйте следующий набор вопросов, которые, как мне кажется, не задавались раньше. Вы можете смоделировать геометрию ситуации и использовать аналитические методы или численное моделирование, чтобы попытаться найти ответы.
Головоломка 2
Предположим, наша цель - не просто уклониться от медведя, а как можно быстрее убежать (в конце концов, у нашего пловца устали руки и ноги). Какая из этих стратегий наиболее эффективна и каково самое быстрое время побега в каждом случае?
- Следуйте стратегии белки, пока она не перестанет помогать, а затем сделайте рывок в радиальном направлении.
- Следуйте стратегии белки, пока она не перестанет помогать, а затем сделайте рывок в другом направлении.
- Следуйте стратегии белки в течение некоторого времени, а затем сделайте рывок в каком-нибудь направлении.
- Используйте какую-нибудь другую стратегию вместо стратегии белки.
Головоломка 3
С другой стороны, предположим, что цель спортсмена - выбраться из озера как можно дальше от медведя. Какая из этих стратегий сейчас наиболее эффективна и какое максимальное расстояние он может поставить между собой и медведем по окружности озера?
- Следуйте стратегии белки, пока она не перестанет помогать, а затем сделайте рывок в радиальном направлении.
- Следуйте стратегии белки, пока она не перестанет помогать, а затем сделайте рывок в другом направлении.
- Следуйте стратегии белки в течение некоторого времени, а затем сделайте рывок в каком-нибудь направлении.
- Используйте какую-нибудь другую стратегию вместо стратегии белки.
А теперь вот несколько бонусных вопросов для тех, кто просто не может насытиться этой головоломкой.
Бонус 1
Изменится ли лучшая стратегия для головоломок 2 и 3, если радиус озера составляет 4,5 единицы, а скорость бега медведя в 4,5 раза больше, чем у пловца? (Скорость пловца остается прежней.)
Бонус 2
Какое наибольшее соотношение между скоростью бега медведя и скоростью пловца позволяет пловцу ускользнуть? (Предположим, что радиус озера в единицах равен этому соотношению, а скорость пловца неизменна.)
Вот и все. Мне не терпится узнать, какие решения вы найдете на эти вопросы.
Удачного придумывания и постарайтесь не ходить кругами!