Всем привет! Сегодня решим последнюю задачу из ЕГЭ по математике. Так ли она страшна, как о ней говорят? Давайте разбираться.
Задача состоит из трех пунктов, решать их будем последовательно. Часто предыдущий пункт намекает, куда стоит двигаться при решении следующего.
Для начала разберемся, как получается каждое из наших чисел. Составим таблицу. В качестве примера возьмем число 27:
В условии сказано, что числа должны быть различные. У нас же второе и третье число получились одинаковыми.
Как этого избежать? Нужно, чтобы второе число было двузначным. Для этого сумма чисел первого числа должны быть больше 9.
Подбираем дальше:
Теперь числа различные. Но сумма все еще очень далека от 2022. Заметим также, что второе число в разы меньше, чем первое. Целесообразно взять первое число поближе к 2022. И перебрать варианты:
Если мы возьмем первым число 2009, то поручим сумму чисел, равную 2022. Итак, ответ на пункт (а): да, может.
С пунктом (б) сложнее. Потому что есть ощущение, что 2021 мы получить не можем. Но как это доказать?
Нам поможет следующее свойство:
Остаток от деления числа на 3 равен остатку от деления суммы цифр этого числа на 3.
Разберемся на примере 2009, 11 и 2:
Получается 2022 кратно 3. И любое число, образованное по схеме, данной в условии — кратно 3.
А 2021 — не кратно 3, значит получить его таким образом невозможно. Ответ на пункт (б): нет, не может.
В пункте (в) нужно будет опереться на предыдущий пункт и свойство, которое мы в нем вспомнили.
Последнее число равно двум. Вопрос, сумма цифр каких чисел равна 2?
Заметим, что последний случай нам не подходит, потому что последнее и предпоследнее число не являются различными.
Остается понять, сколько трехзначных чисел дадут нам 11 и 20. Воспользуемся свойством:
Остаток от деления числа на 9 равен остатку от деления суммы цифр этого числа на 9.
Остаток от деления 11 на 9 — два. А значит и наше трехзначное число должно дать в остатке 2. Найдем такие числа:
Посчитаем их количество:
А теперь уберем те числа, у которых сумма цифр равна двум (101, 110 и 200):
Ответ на пункт (в): 97.
Спасибо за внимание и удачи!
Если вам понравились задачи, то ставьте лайки и подписывайтесь на канал. Математики будет много!