Хорошего настроения всем увлекающимся, в нашем разборе варианта ЕГЭ мы наконец подошли к задачкам посложнее. Итак, параметр!
Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение имеет ровно два различных корня:
Видим корень. Вспоминаем, что подкоренное выражение должно быть неотрицательно. Пока эту мысль откладываем.
Заметим, что в левой части нам подкинули разность квадратов:
Модуль произведения и произведение модулей суть одно:
Начинает немного проясняться. Заметим, что если модуль x + a равен нулю, то уравнение верно:
Итак, один корень мы нашли. Теперь нужно узнать, а когда этот корень проходит по ограничениям. Для этого подставим найденный корень в подкоренное выражение:
Следовательно, при полученных значениях a корень x = - a существует. Но нам нужно два корня, поэтому разбираемся дальше.
Если рассмотренный модуль не равен нулю, то на него можно сократить:
Видим, что левая и правая части уравнения неотрицательны. Можно возвести все в квадрат:
Заметим, что правая часть равна квадрату числа. Значит, правая часть неотрицательна. В этом случае находить ограничения на x не требуется.
Раскроем скобки:
Тут опять образуется ветка из двух случаев. Если a = 0, то уравнение верно, и результат не зависит от x. А это значит, что решений будет бесконечно много. Дальше, в противном случае на а можно сократить:
Мы нашли второй корень, который существует всегда. Значит, два корня будет там, где существует первый и второй корни. Кроме того, они не должны совпасть:
В ноле будет бесконечно много решений, ноль тоже откинем. Запишем ответ:
Не могу назвать эту задачу очень сложно, но если пытаться найти область определения корня в правой части уравнения — можно потонуть. В остальном, задача простая.
Спасибо за внимание и удачи!
Если вам понравились задачи, то ставьте лайки и подписывайтесь на канал. Математики будет много!