В 2006 году на своём первой Кубке Федерации Москвы, который проходил среди юношей 1995 г.р., защитник набрал 11 (2+9) очков в 18 играх.
В Ярославле Юрий Паутов играл вплоть до 2011 года. В дальнейшем Юрий Паутов перешёл в хоккейный клуб «Атлант» (Мытищи), где набрал 21 (7+14) очко на Чемпионате Москвы. В 2012 году заключил годовой контракт с донецким «Донбассом», в котором набрал 3 очка в 25 играх. В этом же сезоне Юрий Паутов становится чемпионом Первенства Украины 2012/2013 (ПХЛ).
В 2013 году Юрий Паутов заключил договор о сотрудничестве с командой Молодежной лиги «Молодая гвардия». В Молодежной хоккейной лиге защитник провел более чем удачный сезон, набрав 12 очков в 44 играх. После проведенного в Молодежной лиге сезона, молодой и перспективный защитник получает предложения о сотрудничестве с клубами Континентальной хоккейной лиги.
В сезоне 2014/2015 Юрий Паутов подписывает контракт с хоккейным клубом «Сочи»(Сочи). На турнире Руслана Салея молодой защитник выступает в составе клуба Континентальной хоккейной лиги, где в двух матчах защитник набирает 1 очко.
В составе хоккейного клуба «Сочи» Юрий выступил в 25 играх, после чего защитник провёл 6 игр в составе хоккейного клуба «Кубань», выступающего в Высшей хоккейной лиге. В 6 проведенных матчах хоккеист сумел набрать 1 (1+0)очко.
В 2014 году в составе молодежной сборной U-20 Юрий Паутов стал участником Subway Super Series, проходившей с 10-20 ноября в Канаде. В команде молодежной сборной U-20, Юрий Паутов стал чемпионом Subway Super Series-2014.
В сезоне 2015—2016 году Юрий Паутов провел большую часть сезона в Высшей лиге в составе хоккейного клуба «Ариада» (Волжск), в котором защитник набрал 6 (3+3)очков. В том же сезоне хоккеист выступал в МХЛ, с хоккейным клубом «Ладья» (Тольятти) защитник за 6 проведенных матчей набрал 2(0+2)очка, при показатели полезности +7.
В 2016 году Юрий Паутов подписывает контракт с «Динамо» (Санкт-Петербург). На турнире памяти Шилова Юрий Паутов сумел набрать 1 очко из 3 проведенных игр. В 48 играх за «Динамо»(Санкт-Петербург) Юрий Паутов набрал 12 (2+10)очков. В сезоне Высшей хоккейной лиги игрок отметился высокой результативностью при показателе полезности +14, а также не раз попадал в список лучших защитников лиги. После того, как команда вошла в плей-офф, Юрий Паутов в 13 играх сумел набрать 2 очка(0+2), после чего команда в 1/4 финала уступила хоккейному клубу «Торпедо»(Усть-Каменогорск).
В сезоне 2017—2018 Юрий Паутов снова возвращается в Континентальную хоккейную лигу, на этот раз подписав контракт с хоккейным клубом «Витязь»(Подольск). На кубке мэра Москвы-2017, защитник набирает 1 очко из двух сыгранных игр, став одним из лучших защитников турнира.
В сезоне Континентальной лиги 2017—2018 Юрий сыграл в 33 играх, а также сумел набрать 2 (0+2)очка. После того, как хоккейный клуб «Витязь» не попал в плей-офф КХЛ, игрок был перенаправлен в «Динамо»(Санкт-Петербург) для дальнейших игр в ВХЛ. В составе «Динамо»(Санкт-Петербург) Юрий Паутов добился достаточно большого прогресса, набрав в регулярном чемпионате 2 (1 + 1)очка в 6 играх, при показатели полезности +12.
В плей-офф защитник набирает 2 (0 + 2)очка, при показатели полезности +10. В этом же сезоне Юрий Паутов становится чемпионом, а также обладателем Кубка Петрова в составе команды «Динамо»(Санкт-Петербург). В сезоне 2019-2020 Юрий Паутов становится серебряным призером кубка Кубка Петрова и получает звание Мастера Спорта России. С сезона 2018—2021 у защитника был заключен контракт с клубом «Витязь»(Подольск). В 2021 году в результате обмена Юрий перешел в СКА(Санкт-Петербург) и заключил контракт сроком на 2 года.
Достижения
- Чемпион ПХЛ («Донбасс-2»)
- ЧемпионSubway Super Series-2014(молодежная сборная U-20)
- ЧемпионВысшей хоккейной лиги 2017/2018. Обладатель Кубка Петрова. («Динамо», Санкт-Петербург)
- Серебряный призерВысшей хоккейной лиги 2019/2020. («Динамо», Санкт-Петербург)
- Является Мастером Спорта России.