Летом 2016 года в результате обмена Александр перешёл в «Амур», где начал играть в КХЛ. За сезон провёл 22 игры.
Дебют Александра за команду «Локомотив» состоялся 21 сентября 2017 года в выездном матче с «Югрой», когда он провёл на льду чуть больше 12 минут.
В сезоне 2017/18 в игре против ХК «Салават Юлаев» уже на 5-й секунде встречи Александр Елесин броском из средней зоны пробил Скривенса, открыв свой персональный счёт шайб в КХЛ и установив новый рекорд Лиги, забив самый быстрый гол в истории лиги.
На чешских играх в апреле 2018 года дебютировал в составе сборной России.
В следующем сезоне привлекался в сборную России на Кубке Карьяла и Кубке Первого канала.
В мае 2019 года подписал контракт новичка с клубом НХЛ «Калгари Флэймз».
Достижения
· Чемпион МХЛ 2016.
· Серебряный призер Первенства МХЛ 2014.
Отличии
1. Хоккеист Елесин забил самый быстрый гол в истории КХЛ