Родился Александр Григорьевич 23 сентября в 1920 году в Ереване. В 1934—1941 годах обучался в Ереванской консерватории им. Комитаса по классам композиции и фортепиано. Выступал как пианист-исполнитель собственных произведений. В возрасте 19-ти лет Арутюняна принимают в Союз композиторов СССР. В 1942—1943 годах совершенствовался в консерватории в классе фортепиано у К. Н. Игумнова, в 1944—1946 — в композиции и полифонии под руководством Х. С. Кушнарева.
В 1946—1948 годах совершенствовался в студии при Доме культуры Армении в Москве.
С 1954 по 1990 год — бессменный руководитель Армянской филармонии. С 1965 по 2008 год преподавал композицию в Ереванской консерватории, с 1977 — профессор. Один из членов «Армянской могучей кучки». Член правления Союза композиторов Армении, член Союза кинематографистов Армянской ССР с 1975 года.
Член жюри Международного конкурса исполнителей на духовых инструментах (Москва, 1957), член жюри конкурса композиторов на лучшее обязательное произведение к Международному конкурсу скрипачей им. Г. Венявского (Познань, Польша, 1967), председатель жюри Международного конкурса медных духовых квинтетов (Нарбонна, Франция, 1990), председатель жюри Международного конкурса трубачей (Москва, 1997).
Творческий стиль композитора, развившийся в конце 1940-х годов, основан на богатом музыкальном наследии Армении и в то же время на принципах музыки классицизма и романтизма, что проявляется как в строгом соблюдении классической последовательности быстрых и медленных частей, так и в обращении к жанрам сюит и концертов. Большое значение в творчестве композитора имеют традиции народных армянских певцов — ашугов, музыка которых строится на разнообразных типах импровизационного развития. Сочинения наполнены экспрессией, чувственностью, ностальгией и иронией.
В творчестве композитора можно выделить несколько периодов: сочинения послевоенного периода и начала 1950-х годов характеризуются принципами тематического развития и сочетания масштабных структур, создающих большую эмоциональную интенсивность. Произведения этого периода приближаются по духу к работам А. И. Хачатуряна. В 1960-е — 1970-е годы композитор отказывается от драматических элементов в пользу большей ясности изложения и ориентации на классические формы. Крупнейшее достижение в этот период — опера «Саят-Нова», а также многочисленные произведения в неоклассическом стиле. Наконец, начиная с 1980-х годов в сочинениях Арутюняна наблюдается стремление к синтезу различных стилей, как, например, в концертах для тромбона и тубы с оркестром, а также скрипичный концерт «Армения-88», считающийся одним из лучших произведений композитора. Посвящённый памяти жертв Спитакского землетрясения, концерт сочетает в себе стиль музыки барокко, классическую форму и утончённый лиризм романтической палитры звучаний. Ряд произведений композитора для духовых инструментов входят в репертуар ведущих мировых исполнителей. На многих сценах мира звучат ярко концертные пьесы для двух фортепиано «Армянская рапсодия» и «Праздничная» (с ударными), написанные в соавторстве с Арно Бабаджаняном.
Как и многие великие композиторы, Александр Григорьевич Арутюнян прожил долгую жизнь – 91 год. Умер 28 марта 2012 года в Ереване. Похоронен в Пантеоне парка им. Комитаса.