Алоха всем, любители математики! Продолжаем разбор варианта ЕГЭ по математике 2021 года. Все сложнее, да сложнее! Сегодня нас ждет геометрия:
Докажите, что прямые AC и AK перпендикулярны.
Прямые CK и AD пересекаются в точке N. Найдите AD, если радиус окружности равен 12, ∠BAC = 30°, а площадь четырёхугольника BCNH в 8 раз больше площади треугольника KNH.
Итак, в задаче нам дана трапеция, описанная вокруг трапеции окружность, и перпендикуляр:
Заметим, что угол KBC равен 90°. Мы знаем, что если вписанный в окружность угол опирается на диаметр, то он равен 90°. Следовательно КС — диаметр:
Но, в то же время, углы опирающиеся на одну дугу равны. Что за угол еще опирается на дугу KDC? Угол KAC, угол между прямыми AK и AC:
Прямые AK и AC перпендикулярны, что и требовалось доказать в пункте (a).
Переходим к пункту (б). Отметим точку пересечения KC и AD — точку N:
Нам известны радиус окружности (а значит и КС) и угол BAC. Посмотрим на этот угол:
Видим, что углы BAC и BKC равны, так как они опираются на одну и ту же дугу окружности. Значит, в прямоугольном треугольнике BKC угол BKC равен 30°. Тогда BC равняется половине KC. Вспоминаем, что KC — диаметр. Значит BC равняется 12.
Раз уж мы знаем две стороны треугольника BKC, то найдем и третью:
Кроме различных величин сторон и углов, нам дано соотношение площадей четырехугольника BHNC и KHN:
Если посмотреть на две эти фигуры, то отчетливо будет виден треугольник KBC. Что про него можно сказать? Основания трапеции AD и BC параллельны, тогда и HN параллельно BC. Значит, треугольники KNH и KBC подобны по трем углам.
Найдем коэффициент подобия. Для этого примем площадь треугольника KHN за S:
Отношение площадей треугольников равно коэффициенту подобия в квадрате. Найдем коэффициент подобия:
Зная BK и коэффициент подобия найдем KH и BH:
Вот мы уже почти вплотную подобрались к AD. Посмотрим на нее внимательно. Вспомним, что описать окружность можно только вокруг равнобедренной трапеции. Значит AH = TD, а BC = HT:
Примем AH = TD = x. И внимательно посмотрим на хорды BH и AD:
Произведение отрезков пересекающихся хорд равно. Запишем:
Подставим все известные значения и решим полученное уравнение:
Заметим, что корень с минусом нам не подходит:
Найдем AD:
Мое мнение — для геометрии в ЕГЭ — это очень просто. Пункт (а) сразу виден, пункт (б) — после элементарных рассуждений. Если рассматривать эту задачу в отрыве от ЕГЭ, то она достаточно интересна.
Спасибо за внимание и удачи!
Если вам понравились задачи, то ставьте лайки и подписывайтесь на канал. Математики будет много!