Посмотреть урок 3
Еще раз о задаче про зайца и волка
На прошлом уроке было предложено решение придуманной мною задачи про погоню волка за зайцем. Чтобы вам не возвращаться в прошлый урок, приведу текст задачи еще раз здесь.
Заяц и волк одновременно вышли из леса и находятся на краю поляны. Расстояние между ними 40 метров. Заяц, увидев волка, побежал от него под углом α=60⁰ к краю леса со скоростью 6 м/с. Волк погнался за ним со скоростью 8 м/с под углом β к краю леса, который меньше угла α. Через сколько времени с начала погони волк настигнет зайца? Считать движение обоих зверей равномерным и прямолинейным.
У внимательных будущих физиков должен где-то в глубине сознания закрасться вопрос: "Почему оказался не нужен угол направления β скорости волка?" Действительно, почему?
Будем считать волка идеальным охотником. Это говорит о том, что при прямолинейном равномерном движении зайца волк тоже будет двигаться прямолинейно и равномерно (незачем голодному волку тратить силы на постоянные разгоны и торможения).
Сделаем чертеж с проекциями скорости волка и зайца:
Волк и заяц находятся в одинаковой координате по y. По этой причине в направлении оси y волку не нужно бежать быстрее зайца, иначе он в этом направлении обгонит его. Это приведет к тому, что волку придется менять направление скорости, а это противоречит условию (равномерно и прямолинейно). Значит проекция скорости волка Vв на ось y должна быть равна проекции скорости зайца Vз на эту же ось. На данном выше чертеже я уже указал вектора этих проекций: Vвy и Vзy.
Получается, что заяц и волк по оси y всегда будут иметь одну и ту же координату. Волк по этой оси зайца "не догоняет" (он "догнал" его в этом направлении уже при выходе из леса - так случилось). А это говорит о том, что мы можем пока оставить в покое эту ось.
Получается, что волк догоняет зайца только по оси x: заяц убегает а волк догоняет. Тогда, вспомним простую школьную математику на скорости движения в одном направлении, в разных направлениях. Волк будет приближаться к зайцу по оси x со скоростью Vвx - Vзx. Значит расстояние от волка до зайца от X0з сократится до нуля за время
Беда только в том, что проекцию скорости зайца на ось x мы найдем, а вот проекцию скорости волка на эту ось нам не найти. Найдем проекции скорости зайца на оси x и y:
Мы уже доказали, что скорость волка вдоль оси y равно скорости зайца вдоль этой же оси. Тогда это будет так:
Теперь взглянем внимательно на скорость волка и ее проекции. Они образуют прямоугольный треугольник (на рисунке ниже зеленым цветом показана проекция скорости Vвy, перенесенная для достройки треугольника (еще раз повторю, что вектор не меняется, если переносится параллельно самому себе). В этом треугольнике Vв - гипотенуза, а Vвx и Vвy - катеты.
Из теоремы Пифагора мы можем вывести, что:
Теперь переходим к первой формуле, которая позволяет рассчитать время и подставляем в нее выведенные нами уравнения:
Вот задача решена уже другим способом, но с уходом от сухой математики и с изложением живой физики.
Графики и их применение
Попробуем решить задачу про пешеходов из урока 2. Приведу текст задачи еще раз.
Движение двух пешеходов описывается уравнениями:
Где и когда они встретятся?
Для решения задачи графическим методом нам достаточно построить графики координат от времени x(t) для двух данных уравнений, как это обычно мы делаем на алгебре:
Как видите, графики пересеклись в той точке, координаты которой указывают на время и место встречи: x = 2,5 м, t = 6,25 с.
По графику координаты от времени можно узнать и скорость движения.
Мы уже знаем, что Vx = Δx/Δt. Выберем на графике две удобные точки, такие, чтобы график попадал на узлы сетки. Именно в узлах сетки мы можем точно определить координаты точки. Я выбрал точки, соответствующие 4,5 секунды и 7 секунд. Вы можете выбрать другие. Определяем Δt между этими точками (7 - 4,5), равное 2,5 секунды. За это время координата тела x изменилась на Δx = 10 м. Определяем скорость:
Vx = Δx/Δt = 10 м / 2,5 с = 4 м/с.
Напомню, что при равномерном прямолинейном движении скорость остается постоянной. Пусть некоторое тело движется вдоль оси x со скоростью 4 м/с. Начертим график скорости.
График скорости при равномерном движении является прямой линией, параллельной оси времени.
Попробуем определить путь Sx, который прошло тело за время от 4 до 9 секунд. Δt = 9-4 = 5 с, скорость нам известна по графику Vx = 4 м/с. Тогда Sx = Δx = Vx Δt = 4х5 = 20 м.
На графике Δt - это одна сторона прямоугольника (на рисунке он закрашен). Значение скорости - это вторая сторона прямоугольника. Значит путь - это площадь прямоугольника.
На графике зависимости скорости от времени путь определяется, как площадь фигуры, ограниченной линией графика, временами, за которые необходимо определить путь, и осью времени.
На сегодня все. Тема равномерного прямолинейного движения закончена.
Переход на урок 5 "Неравномерное движение".