Математика онлайн. Доступно о сложном. Серия «Задачи студенческих олимпиад»
Здравствуйте, уважаемые любители математики!
Может показаться, что интеграл - неберущийся и без квадратурных формул не обойтись. Однако можно достаточно быстро найти его значение, используя свойства определенных интегралов.
Нечетность подынтегральной функции
Прежде всего заметим, что подынтегральная функция – нечетная.
В самом деле, область определения – вся числовая прямая и
Симметрия отрезка интегрирования
Если бы отрезок интегрирования был симметричен относительно начала координат, то интеграл был бы равен нулю.
Попробуем сделать замену переменной так, чтобы пределы интегрирования удовлетворяли указанному условию. Кроме того, применим одну из формул приведения и учтем нечетность синуса.
Вывод
Теперь имеем интеграл от нечетной функции по симметричному относительно начала координат отрезку интегрирования. Следовательно, он равен нулю.
Задание - из книги "Задачи студенческих олимпиад по математике". Авторы-составители - Беркович Ф.Д., Федий В.С.
Не забудьте подписаться на канал, если
- Вам интересны вопросы, которые здесь разбираются;
- Вам могут потребоваться консультации по математике (подробнее здесь).
Другие статьи серии "Задачи студенческих олимпиад"
О канале