Одна из очень интересных для подготовки к профильной математике тем - это то, что называют "теоремой Птолемея".
Сам Птолемей использовал ее для построения таблиц, которые затем применял для астрономических расчетов, ибо она связывает 4 точки, лежащие на одной окружности, и можно было проверять, находятся небесные тела на одной орбите, или на разных.
В школе ее не изучают, опираться на нее при доказательствах нельзя. Конечно, можно ее просто использовать, если знаешь. Но более интересный вопрос в том, как же можно додуматься до таких вещей? Или до подобных? Давайте подумаем!
Строго говоря, нас больше интересует не совсем теорема, а так называемое "Тождество Птолемея". Теорема изначально несколько шире. Вот она:
ДЛЯ ЛЮБЫХ ТОЧЕК А, В, С, D ПЛОСКОСТИ ВСЕГДА ВЫПОЛНЯЕТСЯ НЕРАВЕНСТВО:
А тождество - это именно равенство. То есть:
ДЛЯ ТОЧЕК, ЛЕЖАЩИХ НА ОДНОЙ ОКРУЖНОСТИ, ОБРАЗУЮЩЕЙ ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИК, ПРОИЗВЕДЕНИЕ ДИАГОНАЛЕЙ РАВНО СУММЕ ПРОИЗВЕДЕНИЙ ПРОТИВОЛЕЖАЩИХ СТОРОН:
Что можно использовать для доказательства? По идее - свойства четырехугольника, вписанного в окружность, вписанных углов, а также, возможно, свойства подобных треугольников. Только на первый взгляд здесь подобие не просматривается. Тогда появляется одна идея - это подобие "создать", и просто посмотреть, что из этого получится.
Поэтому возьмем и проведем из точки А до пересечения с диагональю BD отрезок AN. Причем сделаем это таким образом, чтобы угол ВАС был равен углу DAN. Тогда у нас появятся подобные треугольники. Ведь углы ADN и ACB (оранжевые) тоже равны, как углы, вписанные в окружность и опирающиеся на одну хорду.
Если к фиолетовому углу добавить угол NAO, то получим, что углы ВАN и DAO тоже равны. Откуда мы можем перейти к еще одной паре подобных треугольников - АВN и АDC. Они накладываются друг на друга. Поэтому нужна некоторая тренировка, чтобы такое замечать. Выпишем соотношение пропорциональных сторон:
А теперь давайте вернемся к заданию. Нам нужно найти произведение диагоналей, выраженное через произведения сторон. В математике, и, в частности, в геометрии, очень важно подмечать детали. Давайте выпишем соотношения и обратим внимание вот на что:
В первом соотношении можно "по диагонали" увидеть АС и ND, а во втором - АС и BN. Но ведь BN и ND в сумме это и есть вторая диагональ BD! Значит, возможно, к решению нас приведет еще раз переписанная пропорция "крест-накрест".
Сделав это, затем просто сложим левые и правые части равенств, и сразу же придем к ответу:
Итак, тождество Птолемея доказано! Это лишь один из нескольких вариантов рассуждений.
Давайте еще раз заметим, чем можно пользоваться, чтобы прийти к этому и другим не самым простым доказательствам.
- Пользоваться тем, что дано. В данном случае свойством окружности, вписанных четырехугольников или вписанных углов. Если мы что-то не использовали, значит, стоит попробовать!
- Подобие треугольников. Оно бывает совершенно неочевидным. Но в данной задаче, даже если его вначале не было, мы его до-создаем. Как только мы видим равенство оранжевых углов, мы можем подумать, что нужно достроить, чтобы появился треугольник с фиолетовым и оранжевым углом.
- Как раз-таки дополнительные построения. Иногда они прямо "напрашиваются", а иногда их можно просто придумать. В любом случае, через это мы узнаем дополнительную информацию о фигурах.
- Алгебра. Пропорции, их свойства, цепочки рассуждений. В геометрии этого довольно много, особенно в относительно сложных заданиях. Вывод не виден сразу. Но можно попробовать "пройти по цепочке" следствий и посмотреть, куда она нас приведет.
- Практика и наблюдательность. Это особенно актуально в ситуациях с наложенными фигурами.
Вот такие размышлений. Есть и другие варианты доказательств.
- А вы можете ли предложить какие-то свои доказательства этого тождества? Делитесь, пожалуйста, в комментариях.
- И расскажите, все ли понятно в приведенных рассуждениях? На все ли вопросы вы получили ответы?
Заранее спасибо! И увидимся в новых заметках!