Математика онлайн. Доступно о сложном. Серия «Задачи студенческих олимпиад»
Здравствуйте, уважаемые любители математики!
Для начала разберемся, что же нужно сделать. Термин «непрерывная функция», наверняка, знаком всем.
В задаче же говорится о непрерывно дифференцируемой функции. Этот термин означает, что непрерывной будет не только сама функция, но и ее производная.
Непрерывно дифференцируемую функцию также называют гладкой. Связано это с тем, что функция, задающая гладкую кривую (т.е. кривую без угловых точек) имеет непрерывную производную.
Наконец, кусочно-гладкая функция – это функция, состоящая из гладких (т.е. непрерывно-дифференцируемых) частей.
Важно! Термины просто пояснены. Строгих определений здесь нет.
Таким образом, нам дана функция, заданная на полупрямой от минус бесконечности до двух. Если аргумент x меньше или равен -1, то сама функция и ее производная будут непрерывны (определяем по внешнему виду функции). Аналогичная ситуация будет на полуинтервале (-1;2].
Т.е. разрывы функции и ее производной возможны только в точке x=-1 (в точке склейки).
Наша задача – подобрать параметры a и b так, чтобы этих разрывов не было.
Вспомним, что функция f(x) непрерывна в точке тогда и только тогда, когда ее односторонние пределы в этой точке существуют, конечны и равны, а также они равны значению функции в этой точке.
Итак, приступаем к решению.
Сначала найдем, как связаны параметры a и b в случае непрерывности функции. Для этого вычислим односторонние пределы функции при стремлении аргумента к -1, а также значение функции в точке x=-1.
Теперь найдем производную.
Определим, при каком значении параметра a производная будет непрерывной.
Из полученных условий находим, что a=e, b=1. Только при этих значениях заданная функция будет непрерывна вместе со своей производной.
Задание - из книги "Задачи студенческих олимпиад по математике". Авторы-составители - Беркович Ф.Д., Федий В.С.
Не забудьте подписаться на канал, если
- Вам интересны вопросы, которые здесь разбираются;
- Вам могут потребоваться консультации по математике (подробнее здесь).
Другие статьи серии "Задачи студенческих олимпиад"
О канале