Ссылка на урок 1. Механика. Кинематика.
На первом уроке говорилось об основных понятиях механики и, узкого его раздела - кинематики. Определились с понятиями: путь, перемещение, координата. Напомню, что координата тела в любой момент времени определяется уравнением:
Я пока умалчиваю о единицах измерения перемещения, пути и вообще тех единиц, которые касаются длин. Нам сейчас нужно разобраться с сутью явлений. А уж какие единицы мы будем применять - разберемся.
Представьте, купили мы пакет молока и несем его за уголок, держа пальцами. А пакет оказался с дефектом и из него капает молоко прямо на тротуар, по которому мы шагаем домой. Что-то нас заставило обернуться, и на тротуаре мы увидели мокрые следы от капель нашего молока. Тут по случайности у нас оказалась рулетка :). Замерили мы расстояние между соседними каплями в нескольких местах пути (и пусть прохожие считают нас ненормальными - мы получаем знания, а они нет). Все интервалы между каплями оказались примерно равными.
Капля молока, выпадающая из пакета, не меняет (ничтожно мало меняет) уровень молока в пакете. Значит капли падали с одинаковыми интервалами времени. За каждый такой интервал мы проходили одинаковое расстояние. Это говорит о том, что мы двигались равномерно.
Равномерным движением называется такое механическое движение, при котором за одинаковые отрезки времени тело совершает одинаковые перемещения.
Вот мы и заговорили о времени. В чем же его измерять: в часах, в минутах, в сутках? В 1960 году на Генеральной конференции по мерам и весам была принята Система Интернациональная для всех мер.Сокращенно ее называют системой СИ. Эта система была принята, как предпочтительная, 1 января 1963 года в СССР. Основными величинами любой системы измерения являются длина, масса, время. В системе СИ измеряются:
длина - в метрах (м),
масса - в килограммах (кг),
время - в секундах (с).
Мы же будем указывать единицы измерения времени таким образом: [t]=с. Это означает, что величина t (так мы будем обозначать время) измеряется в секундах. Квадратные скобки указывают на то, что речь идет не о числовом значении величины t, а о ее единицах измерения.
И так, в нашем примере с пакетом молока интервалы времени мы отмеряли при помощи капель. Давайте попробуем измерять время более точным прибором - секундомером.
Пусть мы знаем, что какое-то тело двигается равномерно. По измерения мы знаем, что на расстояние Δx тело перемещается за Δt секунд. А на сколько-же перемещается тело в этом случае за 1 секунду? Для этого нам достаточно перемещение разделить на время, за которое произошло это перемещение: Δx/Δt. Если мы знаем, на сколько перемещается тело за одну секунду при равномерном движении, то мы уже говорим о скорости движения.
Скоростью равномерного движения называется отношение перемещения ко времени, за которое это перемещение произошло.
Давайте еще проще: скорость своим числом показывает, на сколько тело перемещается за одну секунду.
Прошу заметить, что скорость - векторная величина. Скорость принято обозначать латинской буквой v с индексом. Индекс означает ось, вдоль которой направлен вектор скорости. В нашем случае скорость направлена вдоль оси x.
Чем же определяется направление вектора скорости? А вы посмотрите на формулу: вектор перемещения делится на скаляр (не векторную величину, ведь у времени нет направления). Значит направление вектора скорости задается направлением вектора перемещения - куда направлен вектор перемещения, туда же направлен и вектор скорости.
Пример 1: Автомобиль едет равномерно по прямой дороге, и за 20 секунд прошел расстояние 280 метров. Какова скорость автомобиля?
Обратите внимание, я не использовал в формуле при решении задачи вектор. Это происходит по той причине, что направление скорости здесь неважно. Да и вообще, когда все сводится только к расчету параметра, то формулу можно указывать без вектора.
В чем же измеряется скорость? Почему я написал ответ в м/с? И так, в системе СИ расстояние (Δx) измеряется в метрах, время (Δt) измеряется в секундах:
Вот так получают производные единицы измерения, подставляя вместо первообразных величин единицы измерения этих величин.
Теперь, зная формулу скорости выразим из нее Δx:
Подставим полученное выражение в формулу:
И так, мы с вами только что получили основное кинематическое уравнение равномерного прямолинейного движения:
Это уравнение позволяет по кинематическим характеристикам определить координаты тела в любой момент времени, т.е. отвечает на вопрос главной задачи механики.
Что же можно делать с этим уравнением. А вот что.
Пример 2: Начальная координата тела на оси x равна 8 метрам, скорость тела направлена против оси и имеет значение 4 м/с. Составьте уравнение движения тела.
В основном кинематическом уравнении начальная координата тела является свободным членом (не умножается на время). Следовательно, начальную координату записываем как есть. Скорость не свободный член и должна умножаться на время. Кроме этого, скорость отрицательна, т.к. она направлена против оси:
Вот оно - уравнение движения тела!!!
Давайте найдем координату тела в момент времени 2,5 секунды после начала движения. Для этого подставим значение этого времени в наше уравнение:
Как это происходит в реальности?
Изначально тело находится в координате 8 метров (подставьте в наше уравнение время t=0) - это и есть начальная координата. Тело движется против оси, т.е. к началу координат. Значит в уравнение мы должны подставлять отрицательное значение скорости, ведь вектор скорости направлен по направлению вектора перемещения. Наши координаты убывают, значит перемещение отрицательно. Каково же перемещение на данном участке за данное время?
Как видите, за x мы взяли координату, в которой находилось тело в конечный момент наблюдений.
Попробуем ответить еще на один вопрос. А в какой момент времени тело будет находится в координате 4 метра? Для этого приравняем наше уравнение четырем (ведь у нас уравнение координаты!):
Пример 3: движение двух пешеходов описывается уравнениями:
Где и когда они встретятся?
Начертим схему. Для начала проведем ось x. Условно укажем начало отсчета. Расположим первого пешехода на оси: его начальная координата отрицательна (из первого уравнение мы определяем ее, как -10 м). Скорость первого пешехода положительна, а значит направлена по направлению оси. У второго пешехода все наоборот (начальная координата положительна 40 м, а скорость отрицательна - направлена против оси).
Если речь идет о встрече, это значит их координаты должны совпасть (ведь нельзя встретится, если один на Луне, а второй на Марсе). А если так, то в момент встречи их координаты совпадут, то x₁ = x₂. Значит мы можем приравнять их уравнения движения:
Решим уравнение относительно t (проще говоря найдем из этого уравнения время):
Все, время нашли. Подставим найденное время в любое уравнения и найдем координату. Я подставлю время в каждое уравнение и тем убедимся, что координаты действительно совпали:
И у первого и у второго пешехода в момент времени 6,25 с координата была 2,5 м. Пешеходы встретились.
На сегодня все, друзья. До следующего урока.