Математика онлайн. Доступно о сложном. Серия «Лайфаки для студентов»
Здравствуйте, уважаемые любители математики!
Для выполнения подобных заданий надо уметь видеть закономерности. Именно поэтому такие упражнения у многих вызывают затруднения.
Итак, приступим.
Для начала преобразуем функцию так, чтобы дифференцировать было удобнее. При этом 1/lna– константа, которую всегда будем выносить за знак производной.
Посчитаем несколько первых производных.
Теперь проанализируем, как связаны правые части равенств с порядком производных.
- Количество «минусов» на единицу меньше, чем порядок производной.
- Имеется произведение натуральных чисел от 1 до (n-1), т.е. (n-1)!
- Переменная x входит в отрицательной степени, модуль которой равен порядку производной.
На основе этих наблюдений можно выписать производную n-го порядка.
Чтобы не оставалось сомнений в том, что получен правильный ответ, найдем производную порядка (n+1) и убедимся в том, что структура сохраняется.
Для «посвященных»: только что доказали общую формулу посредством индукционного перехода.
Осталось совсем немного – записать ответ в более компактной форме.
Не забудьте подписаться на канал, если
- Вам интересны вопросы, которые здесь разбираются;
- Вам могут потребоваться консультации по математике (подробнее здесь).
Другие статьи серии «Лайфаки для студентов»
О канале