Математика онлайн. Доступно о сложном. Серия «Лайфаки для студентов»
Здравствуйте, уважаемые любители математики!
Конечно же, производную можно было бы вычислить при помощи обычных формул.
Однако этот способ весьма трудоемкий.
Логарифмирование же позволяет привести функцию к виду, более удобному для дифференцирования. В этом и заключается значение логарифмической производной.
Логарифмирование
Сначала разберем все этапы решения на простой функции, а потом вернемся к заданию на обложке.
Вспомним, как можно представить логарифм произведения и степени.
Преобразуем правую часть.
Видим, что в правой части теперь нет ни произведения, ни степеней. А сумму дифференцировать достаточно легко.
Логарифмическая производная
На этом этапе легко сделать ошибку, дифференцируя левую часть. Чтобы не допустить этого, будем помнить, что y является функцией, а не свободной переменной. Т.е. ln y – это сложная функция.
Теперь дифференцируем правую часть
Осталось выразить y' и подставить вместо функции y ее представление через x.
Основная задача
Теперь можно вернуться к функции на обложке. Сначала представим корни в виде степеней, а затем прологарифмируем.
Вычисляем логарифмическую производную.
Остался последний шаг – выразить производную y'.
Прозводные фунций, подобных той, которую сегодня разобрали, можно вычислять как при помощи логарифмической производной, так и стандартным способом (хотя это будет менее удобно).
Однако существуют функции, для которых можно применять только логарифмическое дифференцирование.
Об этом - в следующей статье.
Подпишитесь на канал, чтобы не пропустить продолжение.
Другие статьи серии «Лайфаки для студентов»
О канале