И так, в нашем третьем уроке переходим на новый уровень. Уходим от движения по одной оси к движению на плоскости. Начнем с самого важного - перемещения. Для этого попробуем разобраться с новым понятием - радиус-вектором.
Божья коровка перемещается по тетрадному листу и точки 1 в точку 2, как показано на рисунке 1. Отметим на листе эти две точки. Выберем любое место для начала координат и проведем оси. Проведем векторы r₁ и r₂ из начала координат в эти точки соответственно. Такие векторы мы будем называть радиус-векторами.
Радиус-вектор - это вектор, проведенный из начала координат.
Чтобы найти вектор перемещения Δr, нам необходимо просто провести вектор из точки 1 в точку 2. Посмотрите внимательно на чертеж (рисунок). По правилу треугольника мы можем сложить вектор r₁ с вектором Δr (ведь эти векторы идут последовательно - конец первого совпадает с началом второго) и так мы получим суммарный вектор r₂:
Выразим из этой формулы вектор Δr:
Значит, вектор перемещения можно найти, как разность между радиус-вектором конечной координаты и радиус-вектором начальной координаты.
Напомню, что координаты вектора находятся, как разность координат конца и соответствующих координат начала. Пусть на нашем рисунке масштаб одна клетка = 1 длины. Тогда координаты вектора r₁(4 - 0; -4 - 0) и получаем r₁(4; -4). Координаты вектора r₂(15 - 0; 5 - 0) и получаем r₂(15; 5). Чтобы вычесть из одного вектора второй вектор, то достаточно вычесть их соответствующие координаты: Δr=r₂-r₁=(15 - 4; 5 - (-4)). Тогда Δr(11; 9). Координаты вектора можно посчитать и по клеткам на чертеже. Для этого начертим два вектора rx и ry параллельные осям x и y соответственно, так чтобы образовался прямоугольный треугольник, где rx и ry - катеты, а Δr - гипотенуза (рисунок 2).
Модули этих векторов совпадают со значением координат вектора Δr. Так модуль вектора rx = 11, а модуль вектора ry = 9. Именно вектор rx показывает своим направлением вдоль оси x, на сколько вдоль этой оси простирается вектор Δr. Тогда вектор ry показывает своим направлением, на сколько вдоль оси y простирается вектор Δr. Такие векторы называют проекциями. Вектор rx является проекцией вектора Δr на ось x. А вектор ry является проекцией на ось y.
Еще говорят: чтобы найти проекции любого вектора, нужно опустить из точек начала и конца этого вектора перпендикуляры на оси (рисунок 3).
Как видите, это одни и те же векторы: ни направление, ни их модуль не изменены.
Вернемся к рисунку 2. Векторы rx и ry перпендикулярны (ведь они параллельны своим осям, а сами оси перпендикулярны) друг другу и последовательны (конец rx совпадает с началом ry). По правилу векторной суммы:
Можно применить теорему Пифагора для нахождения длины вектора перемещения Δr, т.е. вычислить его модуль:
Попробуйте самостоятельно решить следующую задачу. Заряженная частица в магнитном поле некоторое время летела по траектории, указанной на рисунке ниже, из точки 1 в точку 2. Выберите произвольную систему координат. Постройте радиус-векторы для начальной и конечной точки траектории. Постройте вектор перемещения частицы, найдите его координаты и модуль. Учтите, что систему координат выбирают так, чтобы удобно и просто было решать поставленную задачу.
И так, возвращаемся к прямолинейному движению, а именно к формуле
Поделим левую и правую часть уравнения на время t:
Каждое отдельное слагаемое в левой и правой части данного уравнения представляет собой скорость в соответствующем вектору направлении:
На прошлом уроке мы с вами говорили о том, что именно вектор перемещения при равномерном прямолинейном движении задает направление вектора скорости. Значит, если вектор rx параллелен оси x, то и вектор скорости Vx будет параллелен оси x. Так же и вектор скорости Vy будет параллелен оси y.
На рисунке 4 видно, что векторы скорости мы складываем по правилу параллелограмма.
Теперь уже мы не будем обозначать вектор перемещения Δr, Это необходимо было лишь для понимания того, что он представляет собой изменение (дельту) радиус-вектора. Вместо Δr будем обозначать просто r.
Тогда формула 6-3 принимает вид:
Принимая во внимание формулы 6-1, 6-2, 7, 8 можно утверждать:
Пример 1. Самолет двигается в северо-восточном направлении. При этом вектор скорости в северном направлении составляет 432 км/ч, а скорость в восточном направлении составляет 324 км/ч. Какое расстояние пролетит самолет за 20 минут при равномерном прямолинейном движении? Какова скорость самолета в м/с?
Ответ: V = 150 м/с, r = 180 км.
Как видите, мы не стали вычислять проекции векторов перемещений, а сразу смогли ответить на вопрос задачи.
Иногда приходится находить проекцию по углу между осью и вектором скорости. Рассмотрим это.
Для простоты будем определять проекции вектора n, начало которого совпадает с началом координат (рисунок 5).
Опустим из конца вектора перпендикуляры на оси координат. Обозначим угол α. Рассмотрим прямоугольный треугольник OAB. Вспомним тригонометрию.
Косинусом угла называется отношение прилежащего катета к гипотенузе.
Прилежащим катетом к углу α у нас является отрезок OA. Тогда:
Значит
Но ведь OA это проекция вектора n на ось x, т.е. nx.
Синусом угла называется отношение противолежащего катета к гипотенузе.
Отрезок OB равен длине вектора ny. Значит это и есть проекция вектора n на ось y.
Из этого можно сделать вывод, что достаточно знать модуль вектора и угол между вектором и одной из осей чтобы найти проекции этого вектора на оси.
Пример 2 (сложный).
Заяц и волк одновременно вышли из леса и находятся на краю поляны. Расстояние между ними 40 метров. Заяц, увидев волка, побежал от него под углом α=60⁰ к краю леса со скоростью 6 м/с. Волк погнался за ним со скоростью 8 м/с под углом β к краю леса, который меньше угла α. Через сколько времени с начала погони волк настигнет зайца? Считать движение обоих зверей равномерным и прямолинейным.
Для начала сделаем чертеж:
При этом расположим начальную координату волка в начала координат. Начальная координата зайца xₒз будет находится на оси x на расстоянии от волка (чертеж делаем схематический, а не в масштабе). Направим условно скорости волка Vв и зайца Vз. Пунктирной линией я продолжил предполагаемые траектории движения зверей. В некоторой точки они пересекутся.
Когда волк догонит зайца, тогда их координаты совпадут. Время бега для зайца и волка, конечно, тоже одинаково.
На сегодня это все. До следующего урока.