кому это полезно?
школьникам 8-11 класса
без этого не решить: иррациональные, показательные, логарифмические, и даже обычные неравенства.
почему?
мы часто решаем неравенства относительно нуля, и эти с виду не приятный и сложные выражения легко меняются на эквивалентные (такие же) по знаку.
как это работает.
если мы довели неравенство до вида:
f1*f2*…*fn V 0
вместо V может быть:
>; <; >=; <=
и если какая-либо из этих f подходит под случай замены, то мы спокойно это меняем и добавляем в систему доп. условия, если они имеются.
что мы будем заменять?
- разность модулей
- разность корней
- логарифм
- разность логарифмов
- разность одно степенных выражений
1. разность модулей
Заменим |f| на |f^2|, а |g| на |g^2|
мы это можем сделать, так как если например |f| > |g|, то и |f^2| > |g^2|
это работает во все стороны
f^2 = |f|^2 (свойство квадрата) = |f^2|
аналогично для g
значит начальное выражение можно заменить на разность квадратов
итог:
Дополнительно
- если у нас есть |f| - x V 0 и х>= 0, то можем заменить.
- если вместо одного из модулей не отрицательное число, то так же меняем.
2. разность корней
НЕ ЗАБЫВАЙТЕ дописывать систему для корней !!!
известно, что чем меньше число под корнем, тем меньше сам корень.
=> если f < g, то и корень Nной степени f < корня Nной степени g. итого это будет эквивалентно по знаку f-g V 0
аналогично наоборот и аналогично с другими знаками н-в.
без этого иррациональное неравенство не решить.
3. логарифм
если f> 1 и если g > 1 то придется f возводить в положительную степень => log > 0. с g < 1 - наоборот.
если f < 1 и если g>1 то придется f возводить в отрицательную степень => log < 0 с. g<1 - наоборот
если g = 1, то при любом f log = 0
итак н-во с логарифмом идеально описывает следующее уравнение
если вы пишете так на контрольной или даже на ЕГЭ, то всегда пишите f-1, так как если вы в уме посмотрите больше ли это, чем 0 и напишете g-f будет не ясно как вы это заменили
часть (f-1) отвечает за случай, если f<1, а (g-1) за сравнение g и f
И НЕ ЗАБЫВАЙТЕ СТАВИТЬ УСЛОВИЕ ПОСЛЕ ЗАМЕНЫ!
4. разность логарифмов
Объяснение 1.
здесь работает принцип из прошлого случая, но теперь на знак влияет только (n-1) и (f-g), так как не важно меньше ли log f или log g, чем 0, важна их разность, то есть (f-g)
Объяснение 2.
из свойств логарифма это можно приписать, как
здесь используем прошлую замену на - (n-1)(f/g-1) = (n-1)((f-g)/g)
из условий логарифма g всегда >0, по этому знаменатель можно убрать и останется только (n-1)(f-g)
ИТОГ:
и условие:
а вот задача на использование этих свойств:
ответ будет в закрепленном комментарии.
подсказка: вспомните пару свойств логарифмов, решение неравенств методом интервалов, и самое главное - квадратные уравнения!
5. разность одно степенных выражений
здесь логика ЭДЕНТИЧНА случаю с логарифмами.
на этом статья заканчивается, всем спасибо за просмотр. Если нашли ошибку - обязательно напишите в комментариях (;
-------------------------------------------------------------------------------------------------
источники: https://yourrepetitor.ru/chto-takoe-logarifm-kak-poschitat-logarifm-svojstva-logarifmov-primery-resheniya-logarifmov/, https://skysmart.ru/articles/mathematic/modul-chisla, https://www.berdov.com/docs/exponenta/pokazatelnoe-uravnenie/, https://mathus.ru/math/irraner.pdf, https://youclever.org/book/irratsionalnye-neravenstva-2/, https://youclever.org/book/logarifmicheskie-neravenstva-1/