В прошлой части мы рассмотрели способ Джона Непера упростить умножение. Однако его таблица не позволяла считать даже произведение двух многозначных чисел, не говоря уже о делении (делить на палочках Неппера можно, но это сложнее)
В это время было создано несколько других инструментов для упрощения вычислений (машины на зубчатых колесах остались в античности, а новые еще не изобрели, поэтому мы говорим не об устройствах, а об инструментах).
В это время люди открыли логарифмы. Выглядит логарифм так: loga(b)
Читается как "Логарифм b по основанию a".
Чтобы понять, что такое логарифм взгляните на формулу a^loga(b)=b
То есть логарифм b по основанию a - это некое число. Если a возвести в степень, равную этому числу, то получится b.
Формальное его определение звучит так: логарифм - это степень, в которую нужно возвести a, чтобы получить b.
Но на практике в 17 веке логарифмы были мало полезны, но с их помощью можно было умножать числа. Дело в том, что у логарифма есть одно прекрасное свойство - логарифм произведения равен сумме логарифмов множителей. Математически это выглядит так:
loga(x*y)=loga(x)+loga(y)
Допустим, нам нужно найти произведение 652 и 691.
По свойству loga(652*691)=loga(652)+loga(691). Вместо числа a можно взять что угодно, обычно берут 10 и логарифм называют тогда десятичным.
Все логарифмы заранее рассчитаны и записаны в специальную таблицу.
По этой ссылке можно ознакомиться с таблицей. Я опущу детали поиска по таблице и сразу приведу значения, указанные там.
Числу 652 соответствует мантисса 0,8142. А числу 691 - мантисса 0,8395. Мантисса здесь - это дробная часть логарифма, округленная до 4 знаков. Целая часть логарифма для трехзначных чисел - это 2.
Сумма мантисс у нас - это 1,6537, а сумма целых частей - 4. Значит в итоге логарифм результата - 5.6537.
https://infotables.ru/matematika/35-tablitsy-bradisa/87-tablitsa-bradisa-desyatichnye-antilogarifmy -
Это таблица антилогарифмов. По мантиссе логарифма результата восстановим число 4505. Это, конечно, не ответ. Поставим запятую после 4 - 4.505. Теперь это нужно умножить на 10 в степени 5 (целая часть результата). В итоге получается 450 500.
Если посчитать в калькуляторе произведение, то получится 450 532.
Да, таблица Брадиса дает правильные только 4 высших разряда числа и вообще появилась она в 20 веке, но из всех таблиц - эта была самая легкодоступная, поэтому принцип вычислений я показал именно на ней.
В 1617 году была опубликована таблица с 8-значными мантиссами. По ней можно было произвести точное вычисление произведения.
Звучит, конечно, сложно, но человек, поработавший с логарифмической таблицей некоторое время может считать произведения быстро и точно.