Треугольник Паскаля (арифметический треугольник) — бесконечная таблица биномиальных коэффициентов, имеющая треугольную форму. В этом треугольнике на вершине и по бокам стоят единицы. Каждое число равно сумме двух расположенных над ним чисел. Строки треугольника симметричны относительно вертикальной оси. Назван в честь Блеза Паскаля. Числа, составляющие треугольник Паскаля, возникают естественным образом в алгебре, комбинаторике, теории вероятностей, математическом анализе, теории чисел.
Свойства
- Числа треугольника симметричны (равны) относительно вертикальной оси.
- первое и последнее числа равны 1.
- второе и предпоследнее числа равны n.
- третье число равно треугольному числу T(n-1) = n*(n-1)/2, что также равно сумме номеров предшествующих строк.
- четвёртое число является тетраэдрическим(n*(n+1)*(n+2)/6).
- m-е число (при нумерации с 0) равно биномиальному коэффициенту
- Сумма чисел восходящей диагонали, начинающейся с первого элемента (n-1)-й строки, есть n-е число Фибоначчи.
- Сумма чисел n-й строки треугольника Паскаля равна 2^n.
- Все числа в n-й строке, кроме единиц, делятся на число n тогда и только тогда, когда n является простым числом