Если перелёт с ребёнком - это волнительно, но в принципе понятно чего ожидать, то с собакой - это совершенно новый процесс.
Помню, как нам было сложно в первый раз, хочу этим текстом помочь и вам
1. Подбор клетки (, ещё можно почитать подробную информацию на сайте IATA)
2. Клеим бумажку на клетку с номером рейса, нашими номерами телефонов, именем собаки (чтобы могли ее по имени называть сотрудники авиакомпании) и имя/фамилию владельца
3. Заявляем собаку на борт (у нас за 48 часов до вылета, но у каждой авиакомпании свои сроки).
4. Берём справку ф-1 не раньше, чем за 3 дня до вылета. (про прививки, чипирование и другие документы для перелёта
5. За день до справки отрабатываем антигельминтным препаратом (обычно ветеринар, выдающий ф-1 обрабатывает собаку и ставит предыдущую дату)
6. Приезжаем в аэропорт заранее. В ветконтроле аэропорта может быть очередь, а также пересмена (тогда они почти час могут ничего не оформлять, мы попали так в 9 утра один раз в Домодедово)
7. Меняем справку ф