Если мы проявим творческий подход, то действительно найдем решение этого уравнения.
Равенство y+2=y эквивалентно 2=0. Это явно неверно в большинстве систем счисления. Однако если мы предположим, что работаем в особой системе счисления, называемой «кольцом по модулю», мы можем найти ответ на это уравнение. В кольце по модулю мы используем «арифметику часов», то есть представляем себе числа, расположенные по кругу, как на часах.
На циферблате часов мы добавляем часы, чтобы найти новое время: 3+2=5, 7+3=10, и так далее. Особая вещь происходит, когда наш ответ превышает количество часов в этом «кольце по модулю»: 11+2=1, 10+5=3, и так далее. Вместо того чтобы увеличиваться дальше, числа «заворачиваются» по мере того, как мы считаем. А на циферблате число 12 равно числу 0: 12=0, и любое значение y подошло бы в качестве решения уравнения y+12=y.
Таким образом, уравнение, представленное в заголовке, разрешимо в кольце с двумя элементами {0, 1} — представьте себе циферблат часов с 0 вверху и 1 внизу. Поскольку у нас есть только 0 и 1 для вычисления, то решения нашего уравнения равны 0 или 1.
- 0+2=0, потому что 2=0 в этом кольце.
- 1+2=1, потому что 3 заворачивается обратно к 1 на этом циферблате.
Если вы рассматриваете эту «арифметику часов 0 и 1» как бесполезную систему счисления, вы должны учитывать, что компьютеры успешно используют только 0 и 1 для выполнения вычислений. А арифметика наших часов позволяет выполнять те виды вычислений, которые нам нужны.
А вот особый вид «арифметики часов», который вы регулярно выполняете. Когда вы говорите, что 9+2=11, последняя единица — это результат «тактовой арифметики» на числах от 0 до 9 (переход через разряд).
Ещё пример: 37+8=45. Вы получаете 5, вычисляя 7+8 в тактовой арифметике. Другой разряд — 3, и он обновляется до 4, потому что мы совершили оборот на циферблате.
По материалам публикации (англ.).
Из комментариев
Есть одна деталь: модульная арифметика говорит не о равенстве, а о конгруэнтности. 2 ≠ 0 хотя 2 ≡ 0 в кольце с двумя элементами.
***
То, что здесь было рассмотрено — это парадоксальная природа циклических систем счисления. Если вы добавите к текущему времени двенадцать часов на аналоговых часах, вы вернётесь к тому же представлению. Если вы добавите 365 дней к определенной дате, вы опять вернётесь к тому же представлению (за исключением, конечно, високосного года). Наконец, если вы путешествуете достаточно далеко в любом направлении на Земле по «прямой» линии, вы в конечном итоге возвращаетесь в ту же точку.
***
Ещё один способ подумать о циклических системах счисления: нас интересует только последний разряд результата (суммы).
***
Другой способ решения представленного уравнения — игрек, равный бесконечности. Действительно, если к бесконечности что-то прибавить (в данном случае 2), она останется бесконечностью. Такая бесконечность может быть и отрицательной («минус бесконечность»). Однако, бесконечность — это предел, а не число.
***
Если мы пойдём дальше — к философской проблеме, которая стоит за изложенным решением, можно сказать, что система «арифметики часов» действительна и в более широком контексте: философская древнегреческая концепция «вечного возвращения».
В концепции человеческой жизни (мира, вселенной), которая утверждает совершенное «вечное возвращение», можно, конечно, утверждать, что можно найти точное решение уравнения y=y+2.
***
Установленный логический способ решения линейных уравнений — проделывать одни и те же операции над обеими сторонами равенства. Но всё зависит от истинности (или обоснованности) первоначального утверждения.
Если первоначальное утверждение неверно (не истинно), а мы продолжаем производить операции над обеими сторонами этого равенства, все последующие утверждения (равенства) также неверны.
Если утверждение y+2=y истинно, утверждение 2=0 должно быть также истинным.