Приветствую Вас!
То что у нас прихрамывает нынешнее образование, а точнее, хромает на обе ноги, понятно абсолютно всем. Составители учебников или сходят с ума, или находятся под спидами, или хотят показать свою важность. Непонятно..
У детей, переходящих в 10 класс, даже самых умных, от теории происходит взрыв мозга. Как всё это понять? Хвала тем учителям, которые способны донести новую, немного другую математику, которая, в принципе, не особо отличается от старой. Но, к сожалению, в основном, всё происходит с точностью до наоборот.
Я понимаю, теорию нужно дать. Но когда ты налил этой воды - объясни попроще. Если не можешь, то что ты делаешь в школе? Иди на кафедру, раз ты такой умный, и давай "вышку" там. Хотя нет - студентов жаль.
Всё это, конечно, лирика и та же вода. Поэтому, приступлю к пункту "попроще". А вы знаете, что всю алгебраическую тригонометрию можно объяснить за час, в два - три приёма при условии, что вы обладаете элементарной информацией по этому поводу? Итак, приступим:
Необходимо запомнить пару вещей. Не нужно стараться это понять. Кто захочет, разберется что к чему. Моя статья для тех, кто не хочет, или не может это понять.
Если мы возьмем координатные оси, то ось Y - это sin, а X - cos, поэтому эти функции имеют знаки "+" и "-" именно в таких четвертях, а ни в каких-то других.
Разберем картинку для синуса: вверх от нуля координаты у Y положительны, поэтому свои "плюсы" раздают на 1 и 2 четверти, а ниже нуля - отрицательны, следовательно, "минуса" снизу, в 3 и 4 четвертях.
Такая же история с косинусом. Справа от нуля ось Х положительна, а слева отрицательна.
Если добавить на данный рисунок единичную окружность, т.е. такую, радиус которой равен единице, то на осях получатся конкретные координаты. Не будем разглагольствовать о том, почему именно единица итд. Просто примите это как данное.
Разберем картинку по синусу: ну цифры 1 и -1, думаю, понятно. Почему на оси Х стоят нули? Да потому что мы помним, что синус - это ось игрек, соответственно, на оси икс его нет, а "нет" в математике - ноль. С косинусом то же самое, только меняются оси.
Для чего нужна эта злополучная, именно единичная, окружность? Просто для удобства вычисления значения углов. Ну и еще имеется замут по поводу области определения данных функций. Ведь синус и косинус как не крути дробные дела, причем, именно катет делится на гипотенузу, т.е. "короткое" на "длинное", поэтому дробь не превышает единицу.
Далее нанесем на окружность углы. Но они не будут в привычных "градусах". Ведь и температура измеряется не только в Цельсиях, а время не только в часах. Новая единица измерения будет называться радианы. Но это не особенно важно. Положим, что половина круга - это Пи.
Да, да та самая Пи, которая 3, 14.... Просто теперь это будет 180 градусов. Если взять ось икс полностью и рассмотреть ее как угол, с вершиной в начале координат, то получается развернутый угол - в 180 градусов. Следовательно, справа на оси икс и ее пересечения с окружностью будет ноль, а слева - Пи.
Если добавить ось игрек, которые пересекаются с осью икс под прямым углом ( 90 градусов), то развернутый угол разделится на два равных. Соответственно, сверху, на игреке получается угол - Пи/2, снизу 3(П/2). Три потому, что три угла по 90. Ну, и полный круг - 2П ( два раза по пол круга). Продемонстрируем:
Теперь, скомпоновав две вышестоящие картинки, можно понять что:
- sin 0 = 0, cos 0 = 1,
- sin П/2 = 1, cos П/2 = 0,
- sin П = 0, cos П = -1,
- sin 3П/2 = -1, cos 3П/2 = 0,
- sin 2П = 0, cos 2П = 1.
Подытожим. Для знания значений углов, располагающихся на осях, достаточно запомнить две вещи:
- синус - это ось игрек, косинус - икс;
- Пи - это полкруга.
Углы в 30, 45 и 60 градусов.
Поговорим об углах, которые находятся между осями. Их масса всяко разных, но, в тригонометрии "работают" только три угла 30, 45, 60 (!). И их тоже до хрена, ведь, допустим, 150 градусов - это угол в 30, взятый пять раз, но об этом в следующей статье.
На данный момент нас интересуют только эти три угла. Запишем их через Пи. Так как Пи мы положили за 180 градусов, то получаются простые расчеты:
- П/6 = 30 градусов,
- П/4 = 45 градусов,
- П/3 = 60 градусов.
Не совсем привычно, понимаю. Но со временем к этому привыкаешь, и всё встает на свои места, не печальтесь. Здесь, как и во всём, нужна практика.
Ну, и заключительный этап во всей этой истории, чему равен синус и косинус этих углов.
Имеется такая суперская геометрическая теоремка о синусе: "Катет, лежащий напротив угла в 30 градусов, равен половине гипотенузы". В ней два ключевых момента: 30 градусов и половина ( то есть 1/2 ).
А теперь давайте распишем все значения углов, в порядке возрастания по синусу:
Наведем разбор полетов. Если поставить углы у синуса в порядке возрастания, то и корни в числителе будут стоять в порядке возрастания. Вот и всё. И, помня эту теоремку (и это третье, что нужно знать!) про 30 и 1/2, можно всегда, составить такую незамысловатую табличку для себя.
Косинус считается "вредной" функцией, ведет себя как "бабка поперечная", поэтому у него всё наоборот:
Собственно и вся тригонометрия. Осталось внести некоторые тонкости по плюсам и минусам у значений этих функций. И сказать пару слов о тангенсе. В данном контексте это будет перебор, поэтому внесу ясность в следующей статье.
Итак, тригонометрии поставлен мат в три хода!
Благодарю за внимание..