Найти в Дзене
STEM
13 подписчиков

Почему бесконечное можно обуздать конечным? Интересный парадокс

15
1 мин
Оглавление

Здравствуй, уважаемый читатель. Сегодня хочу поделиться интересным парадоксом соотнесения конечного и бесконечного.

Источник: https://unsplash.com/photos/KiKBr2vclZo
Источник: https://unsplash.com/photos/KiKBr2vclZo

Объяснение

  • Проведем прямую a. Она имеет бесконечную длину: может быть неограниченно продолжена в обе стороны.
Прямая а с бесконечной длиной.
Прямая а с бесконечной длиной.
  • Возьмем произвольный отрезок АВ. Его длина конечная и равна L. Отрезок – кратчайшее расстояние между двумя точками.
Отрезок AB с длиной L.
Отрезок AB с длиной L.
  • Представим, что данный отрезок – нить. Превратим её в полуокружность. Длина сохраняется и равна L. Обозначим центр полуокружности буквой О.
"Превратили" отрезок AB в полуокружность с длиной l. Очевидно, что l=AB=L.
"Превратили" отрезок AB в полуокружность с длиной l. Очевидно, что l=AB=L.
  • Расположим получившуюся фигуру над прямой а.
Полуокружность над прямой a.
Полуокружность над прямой a.
  • Возьмём произвольную точку Х на прямой A.
Взяли произвольную точку Х, принадлежащую прямой а.
Взяли произвольную точку Х, принадлежащую прямой а.
  • Соединим точки О и Х отрезком. Отрезок OX пересекает полуокружность АВ в точке Y.
OX пересекает AB в точке Y.
OX пересекает AB в точке Y.
  • Процедура "зеркальна": мы могли сначала случайно выбрать Y на полуокружности, а затем провести отрезок ОХ, продолжив луч ОY до прямой а и попав в точку Х.
  • Переместимся на прямой a от точки Х вправо на совсем небольшое расстояние d. Получим точку Х'. Аналогичное построение отрезка для точки X' приведет к новой точке на полуокружности. Обозначим её Y'.
Новой точке X', слегка смещённой вправо от X, соответствует новая точка (Y') на полуокружности. Масштаб сильно увеличен, значение d стремится к нулю.
Новой точке X', слегка смещённой вправо от X, соответствует новая точка (Y') на полуокружности. Масштаб сильно увеличен, значение d стремится к нулю.
  • Можно проделать аналогичное для любых точек полуокружности и прямой.
  • Видим, что любой точке X на прямой a соответствует одна и только одна точка на полуокружности AB. Вместе с тем, любой точке Y на полуокружности соответствует одна и только одна точка на прямой a.
  • А отсюда простой вывод: любой отрезок конечной длины изначально содержит ровно столько точек, сколько их на прямой бесконечной длины, ведь аналогичное можно проделать для любого отрезка. Бесконечное удалось "обуздать" конечным.

Парадокс?

Источник: https://pixabay.com/illustrations/embassy-reaction-exclamation-point-935558/
Источник: https://pixabay.com/illustrations/embassy-reaction-exclamation-point-935558/
  • Нет, просто интересный, хоть и несколько контринтуитивный пример из теории множеств. Читателю станет яснее, если представить бесконечное масштабирование и прямой, и отрезка. Т. е. своего рода "зум". Так вот, делать подобный "зум" и обнаруживать всё новые и новые точки как на прямой, так и на отрезке можно сколь угодно долго, бесконечно.
  • Всё вышеуказанное означает, что с точки зрения количества точек прямая и отрезок эквивалентны.

Спасибо за внимание!