На сколько единиц одно число больше или меньше другого — это разностное сравнение. Для разносного сравнения необходимо из большего числа вычесть меньшее. В методике различают два вида задач на разностное сравнение: с вопросом «На сколько больше?» (I вид) и с вопросом «На сколько меньше?» (II вид).
Во время подготовительной работы к введению данных задач решаются простые задачи на увеличение, числа на несколько единиц, уменьшение числа на несколько единиц. Широко используется решение пар задач, выясняется, почему задачи при общих данных имеют разные решения. Очень полезны в качестве подготовки после решения задач на увеличение или уменьшение числа на несколько единиц ответы учащихся на вопросы учителя. «В какой корзине больше яблок? На сколько? А что можно сказать о числе яблок первой корзины? (Меньше). На сколько меньше?»
1. Упражнения, цель которых – помочь увидеть в одной из двух совокупностей столько предметов, сколько их во второй. Haпример:
а) на индивидуальных наборных полотнах треугольники (8) и 5 квадратов под ними, показать столько треугольников (закрыв их полоской), сколько квадратов; б) на наборном полотне те же треугольники, а вместо квадратов – кружки (4). Задание: убрать столько треугольников, сколько кружков.
2. Упражнения в снятии предметов парами:
а) на наборном полотне белые и зеленые кружки (9 и 8). Задание: снимать предметы парами, откладывать их на стол. Какой кружок остался на наборном полотне? Сравнить число снятых белых и зеленых кружков. Сколько сняли белых? Нужно подвести к тому, чтобы учащиеся ответили: «Белых кружков столько же, сколько и зеленых». Остался 1 белый кружок. Значит, белых было на 1 больше, чем зеленых;
б) упражнение в снятии парами различных предметов, не расположенных один под другим.(фигуры васильков и ромашек) в беспорядке. Учитель. Снимайте цветы парами. Сколько убрали ромашек?
Учащиеся. Столько же, сколько васильков.
Учитель. Сколько было васильков?
Учащиеся. 9 васильков.
Учитель. Сколько сняли васильков?
Учащиеся. Сняли 7 васильков.
Учитель. Сколько их осталось?
Учащиеся. Осталось 2 василька.
Учитель. Что показывает число 2?
Учащиеся. Васильков было на 2 больше.
Учитель. Что можно сказать о числе ромашек?'
Учащиеся. Их на 2 меньше, чем васильков.
3. Упражнения в отыскании из двух чисел большего и меньшего. Даются пары чисел: 5 и 3, 4 и 6, 10 и 2, 3 и 9. Показать и назвать большее и меньшее число. Учащиеся умеют сравнивать числа, не испытывают затруднений в расстановке соответствующих знаков между числами. Данное же упражнение имеет целью ввести в активный словарь такие сочетания, как «большее число», «меньшее число». После такого рода подготовительных упражнений, которые сами по себе идут легко, учащиеся гораздо свободнее формулируют правило на уроках ознакомления.
4. Упражнение с целью научить из большего числа вычитать меньшее. Даны пары чисел, где числа большие не всегда стоят первыми: 9 и 5, 2 и 6, 8 и 4, 3 и 7.
Дается задание из большего числа вычесть меньшее. Можно такое задание предложить и в виде математического диктантa. Учитель называет пару чисел, ученик из большего вычитает меньшее.«Если в букете тюльпанов желтых больше, чем красных, на 2, то, что можно сказать о числе красных? Преобразование задач с выражением «на столько-то больше» в задачи с выражением «на столько-то меньше». Ознакомление с решением задач на разностное сравнение проходит при широкой опоре на наглядные средства Целью урока, фрагмент которого приводится, является знакомство с правилом разностного сравнения чисел. Один из видов оборудования на уроке – кружки и треугольники. На демонстрационных и индивидуальных наборных полотнах 6 кружков и 9 треугольников. Геометрические фигуры могут быть расположены и без наборного полотна, в один ряд: слева – кружки, справа – треугольники. Расположение же кружков и треугольников по-другому, один под другим, дает возможность сразу дать ответ, на сколько треугольников больше, чем кружков, и тем самым снять проблему.
Учитель. Вы научились сравнивать числа, находить большее и меньшее из них. Сейчас познакомитесь с тем, как узнать, на сколько одно число больше, чем другое. Перед вами два числа, сравните их.
Учащиеся. 9 больше, чем 6.
Учитель. Как определить, на сколько 9 больше, чем 6? На сколько треугольников больше, чем кружков?
Учащиеся. Будем убирать фигуры парами (кружок и треугольник) и откладывать, пока не останутся какие-то из них. (Убирают).
Учитель. Если остались треугольники, то, что это значит?
Учащиеся. Это значит, что треугольников больше.
Учитель. На сколько треугольников больше, чем кружков?
Учащиеся. На 3 треугольника.
Следующими вопросами учитель дает возможность учащимся самим обосновать выбор арифметического действия.
Учитель. Сколько было треугольников?
Учащиеся. 9 треугольников.
Учитель. Сколько сняли треугольников?
Учащиеся. Сняли 6 треугольников, столько, сколько было кружков.
Учитель. Было 9 треугольников, убрали 6. Каким же действием узнаем, на сколько 9 больше, чем 6?
Учащиеся. Из 9 вычесть 6.
Учитель. Перед вами плакаты со словами «больше», «меньше». Положим эти плакаты над числами 9 и 6. Какое из этих двух чисел большее, а какое меньшее?
Учащиеся. 9 большее, число 6 – меньшее.
Учитель. Что мы сделали, чтобы узнать, на сколько одно число больше чем другое?
Учащиеся. Мы из большего числа вычли меньшее.
Выполняется аналогичное задание с привлечением других предметов. Например, в индивидуальные наборные полотна ставят трафареты яблок и слив. Дается задание пересчитать их, сравнить числа, затем узнать, на сколько яблок (их 8) больше, чем слив (6). С этой целью учащиеся убирают предметы парами, пока не снимут все сливы, отвечают на вопросы учителя, поставленные в следующей последовательности. Сколько яблок на наборном полотне осталось? Сколько яблок было? Сколько яблок сняли? Каким действием узнали, на сколько яблок больше, чем слив? Что означает число 2? Учитель на доске записывает выражение 8–6. Выясняется, где большее число, где меньшее, ставятся над числами плакаты.
Формулируется правило, как узнать, на сколько одно число больше, чем другое. Учащиеся, глядя на плакаты со словами «большее» и «меньшее», сначала сами, а потом с помощью учителя формулируют правило: «Чтобы узнать, на сколько одно число больше другого, надо из большего числа вычесть меньшее». «В пруду плавали 9 утят, а на берегу гуляли 5 утят. На сколько больше утят плавало, чем гуляло на берегу?» После чтения учитель иллюстрирует задачу. Дается задание пересчитать число утят первого и второго ряда. Пользуясь иллюстрацией учащиеся повторяют задачу по вопросам учителя: Сколько утят плавало? Сколько гуляло на берегу? Какой вопрос задачи?
Практика показывает, как трудно детям на первых уроках воспроизводить вопросы в задачах данного вида. Многие формулируют: «Сколько всего?», т. е. сводят ее к уже знакомым задачам.
Учитель использует различные виды помощи:
а) при воспроизведении вопроса обращает внимание учащихся на начало вопроса «на сколько больше?»;
б) предлагает детям прочитать вопрос и повторить его;
в) дает задание продолжить вопрос, начатый учителем.
На вопрос учителя, каким действием мы узнаем, на сколько больше утят плавало в пруду, чем гуляло по берегу, – учащиеся уже отвечают, руководствуясь правилом.
Учащимся, испытывающим затруднения, предлагаются задания в следующей последовательности: «Покажите на наборном полотне утят, которые плавали, а теперь покажите утят, гулявших на берегу. Покажите в верхнем ряду столько утят, сколько их гуляло по берегу (закрывают полоской). Снимите парами утят, по одному из каждого ряда. Сколько было в первом ряду? Сколько утят убрали из первого ряда? Каким действием надо узнать, на сколько больше утят плавало, чем гуляло на берегу?» (Вычитанием). После разбора решение записывается в тетрадь. Выясняется, что означает число 4. Учащимся первое время самостоятельно очень трудно формулировать ответ, необходимо обратить их внимание на начало ответа «на 4 утенка».
Для того, чтобы учащиеся могли увидеть, каким действием находится, на сколько одно число меньше другого, предлагается выполнить практически упражнения с предметами и ответить на ряд вопросов.
Учитель. На наборном полотне слева квадраты, справа кружки. Сколько квадратов?
Учащиеся. 8 квадратов.
Учитель. Сколько кружков?
Учащиеся. 5 кружков.
Учитель. Поставьте под квадратами карточку с цифрой 8, а под кружками карточку с цифрой 5.
Учитель. Каких фигур больше?
Учащиеся. Квадратов больше, чем кружков.
Учитель. Каких фигур меньше?
Учащиеся. Кружков меньше, чем квадратов.
Учитель. Если бы фигур было поровну, то, сколько должно быть кружков?
Учащиеся. 8 кружков.
Учитель. Чтобы узнать, на сколько меньше кружков, снимайте парами кружки и квадраты. Какие фигуры остались?
Учащиеся. Остались квадраты.
Учитель. Сколько не хватает кружков?
Учащиеся. Не хватает 3 кружка.
Учитель. Сколько должно быть кружков?
Учащиеся. 8 кружков.
Учитель. Сколько кружков сняли?
Учащиеся. Сняли 5 кружков.
Учитель. Каким действием можно узнать, на сколько кружков меньше, чем квадратов?
Учащиеся. Действием вычитания.
Учитель. Поставьте между цифрами 8 и 5 знак минус.
Учащиеся составляют выражение 8–5.
Учитель. Поставьте над числами в выражении полоски со словами «большее» и «меньшее».
Учитель. Как узнать, на сколько одно число меньше другого, сформулируйте правило.
Учащиеся. Чтобы узнать, на сколько одно число меньше другого, нужно из большего вычесть меньшее.
При решении задач с вопросом «На сколько меньше», так же, как при работе над задачами с вопросом «На сколько больше?» широко используется иллюстрация, способствующая на первых порах выбору арифметического действия.
Для того, чтобы учащиеся могли убедиться в том, что оба правила можно объединить в одно, проводится упражнение, позволяющее выбрать одно и то же арифметическое действие (вычитание) для ответа на различные вопросы: и «на сколько больше?» и «на сколько меньше?». Учащиеся работают с двумя карточками по очереди. Слева карточка, на верхней строчке которой вопрос «на сколько больше?», справа – «на сколько меньше?» Под каждым вопросом в несколько строк слева и справа нанесены аппликационно изображения элементов сравниваемых множеств, например: 5 зайчиков слева и 3 зайчика справа, 8 лисят слева и 5 лисят справа, 9 маленьких кружков и 7 больших.
Под предметами свободное место для выкладывания соответствующих примеров. Учащиеся с большим интересом работают с карточками, это экономит время на запись в тетради, вносит разнообразие в урок.
Выполнение предложенного задания развивает у учащихся наблюдательность, умение сравнивать и обобщать. Например, фрагмент урока:
Учитель. Сколько зайчиков слева? Положите под ними соответствующую цифру.
Учитель. Сколько зайчиков справа?
Учащиеся ставят справа цифру 3.
Учитель. Что нужно узнать? Начало вопроса прочтите на верхней строчке.
Учащиеся. На сколько больше зайчиков слева, чем справа?
Учитель. Сформулируйте правило, как узнать, на сколько одно число больше другого.
Учитель. Возьмите карточку со знаком действия, составьте пример.
Учащиеся составляют пример 5–3.
Также тщательно выполняются остальные задания карточки с вопросом «на сколько больше» и все задания карточки с вопросом «на сколько меньше?».
Глядя на карточки и сравнивая действия, с помощью которых записаны решения задач слева и справа, учащиеся отвечают на вопросы.
Учитель. Каким действием мы узнали, на сколько одно число больше другого?
Учащиеся. Действием вычитания.
Учитель. Каким действием мы узнали, на сколько одно число меньше другого? Сравните эти действия, что вы можете о них сказать?
Учащиеся. Действия одинаковые.
Учитель. Так как же узнать, на сколько одно число больше или меньше другого?
Учащиеся. Нужно из большего числа вычесть меньшее.
Учитель. Два правила можно сформулировать как одно, общее: «Чтобы узнать, на сколько одно число больше или меньше другого, надо из большего числа вычесть меньшее».
При формировании умения решать задачи рассматриваемого вида включаются и задачи с вопросами: на сколько длиннее, выше, уже, шире, ниже, короче, дороже, дешевле. При этом постоянно обращается внимание учащихся на тот факт, что если численность одного множества больше, на несколько единиц, то численность второго множества меньше на столько же единиц. Задачи I вида (с вопросом «На сколько больше?») с задачами на увеличение числа на несколько единиц. Ориентируясь на слово «больше», часть учащихся вместо вычитания, выбирают сложение. Для предотвращения подобных ошибок предусматривается решение и сравнение пар задач, аналогичных следующим:
1. У Кости было 7 марок, у Жени на 2 марки больше. Сколько марок было у Жени?
2. У Кости было 7 марок, а у Жени 2. На сколько марок больше у Кости, чем у Жени? Учащиеся выясняют, что при одинаковых числах, имея в условии слово «больше», задачи решаются разными действиями. Дети обязательно должны обосновать это различие: в первой задаче нужно найти число, которое больше данного на несколько единиц, во второй – узнать, на сколько одно число больше, чем другое.
Сравниваются и другие задачи, с вопросами «На сколько больше?», «На сколько меньше?». Учащиеся должны уметь объяснить, почему обе задачи решаются вычитанием. Сопоставление задач на разностное сравнение обоих видов помогает учащимся более прочно усвоить правило, которым они руководствуются при выборе решения. Для усвоения правила предлагается наряду с текстовыми задачами давать задания с отвлеченными числами в устном счете, например; «На сколько 5 меньше чем 9?». Умение решать задачи на разностное сравнение значительно облегчает работу над другими видами задач, связанными с понятием разности. В процессе работы над задачами на разностное сравнение учащиеся должны выбрать из системы имеющихся знаний нужное, воспроизвести правило, выполнить действие, сформулировать ответ.
Материал взят из учебников и инета