Предлагаю заключить цикл статей (часть 1 по ссылке, часть 2 по ссылке), посвящённый задачам по теории вероятности, рассмотрением задач под №6.2. из того же пособия, из которого мы брали задачи в 2-х предыдущих статьях. Задачи под этим № по мысли составителей пособия предназначены для учащихся, планирующих продолжать обучение в старших классах с углубленным изучением математики.
ЧАСТЬ III
#хакнем_математика 👈 рубрика, содержащая интересный, познавательный контент по математике как для школьников, так и для взрослых 🥳
Вот 8 наиболее типичных задач.
ПЕРВЫЙ БЛОК ЗАДАЧ
Вариант 1. В высотном доме 3 лифта. Для каждого лифта вероятность того, что он находится на первом этаже, равна 0,5. Найдите вероятность того, что хотя бы один лифт находится на первом этаже.
Вариант 5. В высотном доме 3 лифта. Для каждого лифта вероятность того, что он находится на первом этаже, равна 0,5. Найдите вероятность того, что ровно два лифта находятся на первом этаже.
Предлагаю читателям, прежде чем продолжить чтение, постараться самостоятельно решить эти задачи — необходимые теоретические сведения приведены в первых двух статьях цикла.
Считаю необходимым заметить, что приведённые ниже решения не могут считаться о б р а з ц а м и оформления, поскольку автор стремился как можно подробнее комментировать ход решений, да и в задачах с кратким ответом приводить решение не требуется.
РЕШЕНИЯ
Для каждого из трёх лифтов рассматриваются только два противоположных события: А — лифт находится на первом этаже, и А — на первом этаже лифта нет. По теореме 1 (см. ЧАСТЬ II настоящего цикла статей) о сумме вероятностей противоположных событий
P(A) = 1 – P(A) = 1 – 0,5 = 0,5.
Вариант 1. Пусть событие B заключается в том, что ни один лифт не находится на первом этаже, тогда противоположное ему событие B заключается в том, что на первом этаже находится хотя бы один лифт.
Из теоремы 1 и теоремы 2 (см. там же) о вероятности независимых событий следует, что P(В) = 1 – Р(В) = 1 – 0,5×0,5×0,5 = 1 – 0,125 = 0,875. ОТВЕТ. 0,875.
Вариант 5. Для трёх лифтов возможны 8 равновероятных событий: +++, ++–, +–+, +– –, –++, –+–, – – +, – – – («+» — лифт на первом этаже, «–» — лифт не на первом этаже), и вероятность каждого равна 1/8=0,125. Из них только в трёх случаях на первом этаже находятся два лифта (соответствующие три символа выделены жирным шрифтом). По классическому определению вероятность такого события равна 3/8 = 0,375.
ОТВЕТ. 0,375.
ВТОРОЙ БЛОК ЗАДАЧ
Вариант 9. Игральный кубик бросили дважды. Найдите вероятность того, что произведение выпавших очков чётное.
Вариант 10. Игральный кубик бросили дважды. Найдите вероятность того, что сумма выпавших очков равна 10. Ответ округлите до сотых.
Вариант 12. Серёжа стоит на трамвайной остановке. На ней останавливаются трамваи маршрутов А и Б. Вероятность того, что ближайший трамвай будет ехать по маршруту А равна 0,7. Найдите вероятность того, что нужный Серёже трамвай Б приедет только третьим по счёту (сначала приедут два трамвая маршрута А).
РЕШЕНИЯ
Испытание состоит в двойном бросании игрального кубика. При первом бросании возможны 6 равновероятных исходов: выпадение чисел 1, 2, 3, 4, 5, и 6. Результат второго бросания не зависит от результата первого бросания и будет тем же. Считая результатом двух бросаний кубика пару чисел, имеем 6×6=36 вероятных исходов.
Вариант 9. В качестве события принимается произведение чисел каждой полученной пары. Произведение каждого из трёх нечётных чисел, выпавших при первом броске, даст нам чётное произведение только при умножении на каждое из трёх чётных чисел, выпавших при втором броске: 3×3=9 чётных произведений, а каждое чётное число, выпавшее при первом броске, даст нам ещё 3×6=18 чётных произведений.
Всего же мы получим 9+18=27 чётных произведений, а вероятность того, что произведение выпавших очков будет чётным, составит 27/36=3/4.
ОТВЕТ. 0,75.
Вариант 10. В качестве события будем рассматривать сумму выпавших очков в каждой паре. Равенство суммы очков числу 10 возможно только в следующих 3-х парах: 4 и 6, 5 и 5, 6 и 4. Вероятность события, заключающегося в том, что сумма очков, выпавших при двух бросках кубика, будет равна числу 10 составит
3/36=1/12=0,08(3)≈0,08.
ОТВЕТ. 0,08.
Вариант 12. Событие А — приход на остановку трамвая А, Р(А)=0,7.
Событие Б — приход на остановку трамвая Б, при этом Б=А, и по теореме 1 (см. Часть II настоящего цикла статей) о сумме вероятностей противоположных событий Р(Б)=1 – Р(А)=1 – 0,7=0,3. По теореме 2 (там же) о вероятности совместного появления независимых событий
P(A×A×Б) = P(A)×P(A)×Р(Б) = 0,7×0,7×0,3 = 0,147.
ОТВЕТ. 0,147.
ТРЕТИЙ БЛОК ЗАДАЧ
Вариант 13. Света кинула симметричную монету три раза. Найдите вероятность того, что среди результатов будут и решка, и орёл.
РЕШЕНИЕ
Вариант 13. Выпадения решки или орла — противоположные и равновероятные события, поэтому по теореме 1 вероятность каждого из них равна 0,5. По теореме 2 вероятность появления трёх орлов или трёх решек равна 0,5×0,5×0,5 = 0,125.
Событие А, при котором среди результатов будут и решка, и орёл, противоположно событию выпадения трёх орлов и трёх решек, вероятность которого равна сумме вероятностей выпадения орла или решки равна 0,125+0,125 = 0,25, и по теореме 1 его вероятность будет равна 1–0,25 = 0,75.
ОТВЕТ. 0,75.
Вариант 15. Игральный кубик бросили дважды. Найдите вероятность того, что сумма очков делится на 3. Ответ округлите до сотых.
РЕШЕНИЕ
В качестве события будем рассматривать сумму чисел в каждой паре. Найдём вероятность делимости такой суммы на 3: для каждого числа очков, полученных при первом бросании кубика, найдётся только два числа, полученных при втором бросании: 1+2=3, 1+5=6; 2+1=3, 2+4=6; 3+3=6, 3+6=9;
4+2=6, 4+5=9; 5+1=6, 5+4=9; 6+3=9, 6+6=12 —получаем 6×2=12 благоприятных исходов.
Искомая вероятность равна 12/36 = 1/3 = 0,(3) ≈ 0,33.
ОТВЕТ. 0,33.
Вариант 17. Вероятность попадания по мишени при выстреле из лука равна 0,6. Лучник выстрелил дважды. Какова вероятность того, что он попал только во второй раз?
РЕШЕНИЕ
Пусть событие А — попадание (+) в мишень при стрельбе из лука, и Р(А) = 0,6. Тогда промах (–) — это событие А, и по теореме 1 о сумме вероятностей противоположных событий
Р(А) = 1–Р(А) = 1–0,6 = 0,4.
Возможны следующие исходы двух выстрелов: ++, +–, –+, – –.
По теореме 2 о вероятности независимых событий вероятность интересующего нас события (попадание только при втором выстреле) Р(А×A) = P(A)×P(A) = 0,6×0,4 = 0,24.
ОТВЕТ. 0,24.
Желаю всем читателям успехов при любых испытаниях!
Автор: #себихов_александр 72 года, много лет проработал конструктором-технологом микроэлектронных приборов и узлов в одном из НИИ г. Саратова, затем преподавателем математики и физики.
Читайте наш канал в телеграм — по этой ссылке