Параллелограмм – это четырёхугольник, чьи стороны попарно параллельны.
Свойства пара-ма: 1. В параллелограмме противоположные стороны равны 2. В параллелограмме диагонали точкой пересечения делятся пополам. 3. В параллелограмме стороны равны и параллельны
Признаки пара-ма:
1. Если в четырёхуг. Противоположные стороны равны, то этот четырёхугольник – пара-м.
2. Если в четырёхугольнике диагонали точкой пересечения делятся пополам, то этот четырёхугольник параллелограмм.
3. Если в четырёхугольнике стороны равны и параллельны, то этот четырёхугольник параллелограмм.
Прямоугольник – это параллелограмм, у которого все углы прямые.
Свойства прямоугольника:
1. Противолежащие стороны прямоугольника равны.
2. Все углы прямые
3. Диагонали прямоугольника точкой пересечения делятся пополам
4. Сумма углов при любой стороне равна 180
5. Биссектриса любого угла отсекает от прямоугольника равнобедренные треугольник
6. Диагонали прямоугольника равны
При пересечении диагоналей прямоугольника образуются 4 равнобедренных треугольника.
Признаки прямоугольника:
1. Если один из углов параллелограмма прямой, то этот параллелограмм – прямоугольник
2. Если диагонали параллелограмма равны, то этот параллелограмм – прямоугольник
Медиана прямоугольного треугольника, проведённая к гипотенузе, равна её половине!
Ромб – это параллелограмм, у которого все стороны равны.
Свойства ромба:
1. Диагонали ромба пересекаются под прямым углом
2. Диагонали ромба являются биссектрисами его углов
Признаки ромба:
1. Если диагонали пара-ма перпендикулярны, то этот пара-м – ромб
2. Если диагональ пара-м является биссектрисой его угла, то этот пара-м – ромб
3. Если все высоты пара-ма равны, то этот пара-м – ромб
4. Если в пара-м можно вписать круг, то этот пара-м – ромб
Квадрат – правильный четырёхугольник, у которого углы и стороны равны
Свойство квадрата:
1. Диагонали разбивают квадрат на 4 равнобедренных треугольника
Трапеция – это четырёхугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие нет.
Св-ва р/б трапеции: 1) углы при основании равны 2) диагонали равны 3) высоты отсекают равные прямоугольные треугольники 4) высоты отсекают на нижнем основании равные отрезки
ВО ВСЕХ ТРАПЕЦИЯХ углы при боковой стороне в сумме дают 180
Средняя линяя треугольника – это отрезок, соединяющий середины сторон треугольника.
Средняя линяя треугольника, соединяющая середины двух его сторон, параллельна третей его стороне и равна её половине.
Средняя линяя трапеции – это отрезок, соединяющий середины боковых сторон трапеции.
Средняя линя трапеции равна половине суммы оснований.
Теорема Вариньона: Четырёхугольник, образованный путём последовательного соединения середин сторон выпуклого четырёхугольника, является параллелограммом, и его площадь равна половине площади данного четырёхугольника.
Теорема о медианах треугольника: медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины
Теорема Фалеса: Если параллельные прямые, пересекающие стороны угла, отсекают на данной его стороне равные отрезки, то они отсекают равные отрезки и на другой его стороне.
Теорема о пропорциональных отрезках: Если параллельные прямые, пересекают стороны угла, то отрезки, образовавшиеся на другой стороне угла, пропорциональны соответствующим отрезкам, образовавшимся на другой его стороне.
Св-во биссектрисы треугольника: Биссектриса треугольника делит сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим к ней сторонам
Два треугольника называются подобными, если их углы соответственно равны и стороны одного треугольника соответственно пропорциональны сходственным сторонам другого.
Число k, равное отношению сходственных сторон подобных треугольников, называется коэффициентом подобия.
Отношение периметров двух подобных треугольников равно коэффициенту подобия
Отношение площадей двух подобных треугольников равно квадрату k.
Прямая, параллельная стороне треугольника и пересекающая две его стороны, отсекает от данного треугольника ему подобный.
Признаки подобия треугольников:
1. Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого, то такие треугольники подобные. (по 2-м углам)
2. Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы, заключённые между ними, равны, то такие треугольники подобны. (по 2-м сторонам и углу)
3. Если три стороны одного треугольника пропорциональны трём сторонам другого треугольника, то такие треугольники подобны. (по 3-м сторонам)
Площадь многоугольника – это величина той части плоскости, которую занимает многоугольник.
Свойства площади:
1. Равные фигуры имею равные площади
2. Если фигура состоит из нескольких фигур, то её площадь равна сумме площадей этих фигур
S квадрата = a2
S прямоугольника = аb
S трапеции = (a+b)/2 * h
S параллелограмма = ah
S ромба = ah
S прямоугольного треугольника = 1/2 ab (где a и b – катеты)
Свойство медианы: в прямоугольном треугольнике медиана, проведенная из прямого угла, равна половине гипотенузы
Чевиана — это отрезок в треугольнике, соединяющий вершину треугольника с точкой на противоположной стороне.
Теорема Пифагора: В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.
c2 = a2+b2
a2 = c2 – b2
b2 = c2 – a2
Обратная теорема Пифагора: Если квадрат стороны равен сумме квадратов двух других сторон, то треугольник прямоугольный.
Св-во высоты в прям. Треуг.: Высота в прямоугольном треугольнике, проведенная из вершина прямого угла, разбивает прямоугольный треугольник на два подобных треугольника. Кроме того, каждый из этих треугольников подобен исходному.
Признак касательной: Если прямая проходит через конец радиуса, лежащий на окружности, и перпендикулярна радиусу, то она является касательной
Касательная – это прямая, имеющая с окружностью только одну общую точку
Точка касания – это общая точка касательной прямой и окружности
Св-во касательной: Касательная к окружности перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания
Свойство отрезков касательных: Отрезки касательных к окружности, проведенные из одной точки, равны и составляют равные углы с прямой, проходящей через эту точку и центр окружности.
Свойство центра окружности, вписанной в угол: Если окружность вписана в угол, то её центр лежит на биссектрисе угла
Свойства четырёхугольника, описанного вокруг окружности:
1.Если четырехугольник описан около окружности, то сумма двух его противолежащих сторон равна сумме двух других его сторон.
2. Точка пересечения диагоналей описанного с четырехугольника совпадает с точкой пересечения диагоналей четырехугольника, вершинами которого служат точки касания сторон данного четырехугольника со вписанной окружностью.
Теорема о вписанной окружности: Если все стороны многоугольника касаются окружности, то окружность называется вписанной в многоугольник.
Св-во описанного многоугольника: Если суммы противоположных сторон выпуклого четырёхугольника равны, то в него можно вписать окружность. 2)В любой треугольник можно вписать окружность.
Вневписанная окружность треугольника – это окружность, касающаяся одной из сторон треугольника и продолжений двух других его сторон.
Свойство вневписанной окружности: Центр вневписанной окружности в треугольнике есть точка пересечения биссектрисы внутреннего угла треугольника, противолежащего той стороне треугольника, которой окружность касается, и биссектрис двух внешних углов треугольника.
Формула радиуса вневписанной окружности треугольника: Радиус вневписанной окружности, касающейся данной стороны треугольника, равен отношению площади треугольника к разности полупериметра ra = S/ p – a
Признак описанного четырёхугольника: Если суммы противоположных сторон четырёхугольника равны, то четырёхугольник является описанным.
Свойства диаметра окружности:
1. Диаметр, проведенный через середину хорды, перпендикулярен к этой хорде и делит дугу, стягиваемую ею, пополам.
2. Диаметр, проведенный через середину дуги, перпендикулярен к хорде, стягивающей эту дугу, и делит её пополам.
Теорема о вписанном угле: Угол, вписанный в окружность, равен половине дуги, на которую он опирается. Угол, вписанный в окружность, равен половине соответствующего ему центрального угла.
Вписанный угол – это угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают окружность.
Свойство углов, опирающихся на одну и ту же дугу окружности: Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу равны.
Второе свойство вписанного угла (до этого было первое): Вписанный угол, опирающийся на диаметр всегда прямой.
Свойство углов вписанного четырёхугольника: Сумма противоположных углов вписанного четырёхугольника равна 180.
Свойство угла между касательной и хордой: Угол между касательной и хордой равен половине градусной мере дуги между касательной и хордой
Признаки вписанного четырёхугольника: Если сумма противоположных углов четырёхугольника равна 180, то около него можно описать окружность.
Площадь описанного многоугольника равна половине произведения его периметра на радиус вписанной окружности.
Sn = ½ Pn * r
Радиусом вписанной в треугольника окружности является расстояние от центра окружности до стороны.