В треугольнике ABC биссектриса BE и медиана AD перпендикулярны и имеют одинаковую длину, равную 164. Найдите стороны треугольника ABC
Задачка, в которой мало текста, но она заставляет многих задуматься. Порой и начертить ее с первого раза достоверно не удается.
Если чертить, начиная с треугольника, то получить перпендикулярные биссектрису с медианой можно только в случае большого везения. А уж сделать их равными - та еще задачка! :) Так что начинать чертеж следует именно с пермендикуляра. Попутно отметим то, что нас сразу известно из условия:
Итак, AD - медиана, BD = DC, BE - биссектриса и образованные ею углы при вершине В отмечены, как равные. И как раз биссектриса и медиана перпендикулярны и приблизительно равны.
Поскольку по условию треугольник АВD - равнобедренный, то внутри него ВО - отрезок "большой" биссектрисы ВЕ - является и биссектрисой и медианой одновременно . Значит, сразу можем отметить, что АО = ОD = 82.
Ну и дополнительый бонус к условию - сразу видно, что и DC также равно BD и равно AB. Отсюда напрашивается какое-то подобие, но его пока нет на чертеже. Так что вполне логичная идея - сделать дополнительные построения.
Но прежде давайте подумаем, что еще из условия мы пока никак не использовали?
Биссектрису! Вернее, мы ее использовали в "малом" треугольнике АВD, но в "целом" треугольнике АВС мы пока ее свойства проигнорировали. А они тут очень и очень кстати!
Биссектриса - это не крыса, которая бегает по углам, а отрезок, который делит сторону, противоположную углу, на отрезки, пропорциональные прилегающим к углу сторонам! Это, кстати, не определение, а свойство. А вот в определение иногда включают ту самую "крысу". :)
Получается, что сторона ВС в два раза больше стороны АВ, и биссектриса это же соотношение "переносит" (заразно!) на сторону ВС. :) Можно сказать, кстати, что биссектриса это "пропорционатор". Нет такого слова? В любом случае, двигаемся дальше.
Итак, можно отметить пропорциональность АЕ и ЕС через х и 2х. Мы также знаем длину отрезка ВЕ, она равна 164, и можно бы пустить в ход какие-то алгебраические ухищрения, но давайте не будем. Вернемся к идее о подобии, которое "напрашивается". Так что предлагаю достроить на том, что есть, треугольник, подобный ВОD:
Получаем треугольник КВС подобен треугольнику ОВС. Но тут нас ждет и еще одна радость - треугольник КЕС подобен треугольнику ОЕА! Значит, можно найти некоторые подобия.
Зная, что ВЕ = 164, запишем ОЕ как "у", тогда ОВ = 164-у.
И теперь выведем то, что следует из подобных треугольников КЕС и ОЕА:
Тогда по теореме Пифагора мы можем найти и АЕ, и АВ! Ведь ОВ = 164-у, то есть ОВ=123. Задача без 5 минут решена!
Считаем.
И тут нас ждет неприятный момент. Как догадаться и вычислить такой корень? На самом деле очень помогает умение просто "считать корни вручную", то есть без калькулятора. Есть про это видео здесь >>
Другой вариант - проверять делимость. Видно, что число не делится ни на два, ни на четыре, ни на три, ни на пять, ни на семь. Если про делимость на семь не помните, просто пробуйте делить столбиком. А дальше идете по простым числам. Остается проверить 11 (не делится) и за тем 13 - делится!
А получившееся число уже что-то напоминает, если часто смотрели на таблицу квадратов. 21 853 : 13 = 1681. И это как раз 41 в квадрате!
То есть АВ - это 41 корень из 13, ВС - это 82 корня из 13, и дальше считаем по той же схеме ВЕ, и затем ВС:
Итак, все стороны есть! Подытожим:
Всё!
На сколько эта задача кажется вам легкой или сложной? Если максимальная сложность - это 10 баллов, на сколько она "тянет"?
Какие еще пути решения вы видите?
Какие еще задачи важно разобрать?
Делитесь, пожалуйста, идеями и пожеланиями в комментариях! И до встречи!